卡拉比–丘流形

卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）在数学上是一个的第一陈类为0的紧致n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做卡拉比–丘 n-流形。数学家欧金尼奥·卡拉比（英语：Eugenio Calabi）在1957年猜想所有这种流形（对于每个凯勒类）有一个里奇平坦的度量，该猜想于1977年被丘成桐证明，成为丘定理（Yau's theorem）。因此，卡拉比–丘流形也可定义为“紧里奇平坦卡拉比流形”（compact Ricci-flat Kähler manifold）。

卡拉比–丘流形的3维投影

也可以定义卡拉比–丘n流形为有一个SU(n)和乐（holonomy）的流形。再一个等价的定义是流形有一个全局非0的全纯(n,0)-形式。

例子

在复一维的情况，唯一的例子就是环面族。注意环上里奇平坦的度量就是一个平坦度量，所以和乐群（holonomy）是平凡群，也叫SU(1)。

在复二维的情形，环T⁴和K3曲面组成了仅有的实例。T⁴有时不被算作卡拉比–丘流形，因为其和乐群（也是平凡群）是SU(2)的子群而不是同构于SU(2)。从另一方面讲，K3曲面的和乐群是整个SU(2)，所以可以真正称为2维的卡拉比–丘流形。

在复三维的情况，可能的卡拉比–丘流形的分类还是未解决的问题。3维卡拉比–丘流形的一个例子是复射影空间CP⁴中的非奇异的五次超曲面。

卡拉比-丘流形融合卡鲁扎-克莱因理论的呈现

在弦论中的应用

卡拉比–丘流形对于超弦理论很重要。在最常规的超弦模型中，弦论中有十个猜想中的维度，作为我们所知的4个维度出现，在加上某种纤维化，纤维的维度为6。卡拉比–丘n-流形的紧致化很重要，因为他们保持一些原有的超对称性不被破坏。更精确地说，卡拉比–丘 3-流形（实维度6）的紧致化保持四分之一的原有超对称性不变。

参考文献

Besse, Arthur L., Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1987, ISBN 978-3-540-15279-8, OCLC 13793300
Chan,Yat-Ming (2004)"Desingularization Of Calabi–Yau 3-Folds With A Conical Singularity（页面存档备份，存于互联网档案馆）"
Calabi, Eugenio, The space of Kähler metrics, Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam 2: 206–207, 1954 [2012-09-16], （原始内容存档于2011-07-17）
Calabi, Eugenio, On Kähler manifolds with vanishing canonical class, Fox, Ralph H.; Spencer, D. C.; Tucker, A. W. (编), Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton Mathematical Series 12, Princeton University Press: 78–89, 1957 [2012-09-16], MR 0085583, （原始内容存档于2020-12-12）
Greene, Brian "String Theory On Calabi–Yau Manifolds（页面存档备份，存于互联网档案馆）"
Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward, Vacuum configurations for superstrings, Nuclear Physics B, 1985, 258: 46–74 [2012-09-16], Bibcode:1985NuPhB.258...46C, doi:10.1016/0550-3213(85)90602-9, （原始内容存档于2012-12-20）
Gross, M.; Huybrechts, D.; Joyce, Dominic, Calabi–Yau manifolds and related geometries, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2003, ISBN 978-3-540-44059-8, MR 1963559, OCLC 50695398
Hitchin, Nigel, Generalized Calabi–Yau manifolds, The Quarterly Journal of Mathematics, 2003, 54 (3): 281–308, MR 2013140, arXiv:math.DG/0209099  , doi:10.1093/qmath/hag025
Hübsch, Tristan, Calabi–Yau Manifolds: a Bestiary for Physicists, Singapore, New York: World Scientific, 1994 [2012-09-16], ISBN 981-02-1927-X, OCLC 34989218, （原始内容存档于2010-01-13）
Im, Mee Seong (2008) "Singularities-in-Calabi-Yau-varieties.pdf Singularities in Calabi–Yau varieties"
Joyce, Dominic, Compact Manifolds with Special Holonomy, Oxford University Press, 2000, ISBN 978-0-19-850601-0, OCLC 43864470
Tian, Gang; Yau, Shing-Tung, Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, I, J. Amer. Math. Soc., 1990, 3 (3): 579–609, JSTOR 1990928, doi:10.2307/1990928
Tian, Gang; Yau, Shing-Tung, Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, II, Invent. Math., 1991, 106 (1): 27–60, Bibcode:1991InMat.106...27T, doi:10.1007/BF01243902
Yau, Shing Tung, On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1978, 31 (3): 339–411, MR 0480350, doi:10.1002/cpa.3160310304
Yau, Shing-Tung, Surveys in differential geometry. Vol. XIII. Geometry, analysis, and algebraic geometry: forty years of the Journal of Differential Geometry, Scholarpedia, Surv. Differ. Geom. (Int. Press, Somerville, MA), 2009, 4 (8): 277–318 [2012-09-16], MR 2537089, doi:10.4249/scholarpedia.6524, （原始内容存档于2021-01-15） |chapter=被忽略 (帮助)

参阅

超凯勒流形

外部链接

（英文）Calabi-Yau Home Page （页面存档备份，存于互联网档案馆）