K3曲面

在不同的脉络下，K3曲面的定义略有不同。

• 在复几何中，K3曲面是具有平凡典范丛的紧致、单连通复曲面。
• 在代数几何中，K3曲面是具有平凡典范丛，且 ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$  的射影曲面。此定义可推广至任意域上的代数曲面。
• 另有一个物理文献中常见的刻划：K3曲面是不同构于 ${\displaystyle T^{4}}$  的复二维卡拉比-丘流形。

1. 若将K3曲面视为四维实流形，则它们彼此微分同胚。其贝蒂数为：1、0、22、0、1。
2. 所有K3曲面都是卡莱尔流形。
3. 根据丘成桐证出的卡拉比猜想，所有K3曲面都配有里奇平坦度量。
4. 现已知对复K3曲面存在一个20维的粗模空间。对复K3曲面，存在周期映射，而且相应的托雷利定理成立。K3曲面也另有其它数种具备良好周期映射的模空间。
5. K3曲面在弦理论中扮演重要角色，因为它提供了除环面之外最简单的紧致化。K3曲面上的紧化保存一半的超对称。

• 库默尔曲面源自一个二维阿贝尔簇 ${\displaystyle A}$  对 ${\displaystyle a\mapsto -a}$  的商空间，此商在二阶挠点上产生 ${\displaystyle 2^{4}=16}$  个奇点。该空间的极小分解是个K3曲面。
• ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$  里的四次平滑曲面。
• ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$  里二次曲面与三次曲面之交。
• ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$  里三个二次曲面之交。
• ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$  沿一条平滑六次曲线的分歧覆盖。

• 代数曲面

• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius, Compact Complex Surfaces, 2004, ISBN 3-540-00832-2 
• A.N. Rudakov, K3 surface, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

• K3 Surfaces and String Duality, by Paul Aspinwall （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Geometry of K3 surfaces, by David Morrison