蝴蝶定理

从${\displaystyle X\,}$ 向${\displaystyle AM\,}$ 和${\displaystyle DM\,}$ 作垂线，设垂足分别为${\displaystyle X'\,}$ 和${\displaystyle X''\,}$ 。类似地，从${\displaystyle Y\,}$ 向${\displaystyle BM\,}$ 和${\displaystyle CM\,}$ 作垂线，设垂足分别为${\displaystyle Y'\,}$ 和${\displaystyle Y''\,}$ 。

现在，由于

${\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY',\,}$ 

${\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'},}$ 

${\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',\,}$ 

${\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''},}$ 

${\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',\,}$ 

${\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY},}$ 

${\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',\,}$ 

${\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY},}$ 

从这些等式，可以很容易看出：

${\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},}$ 

${\displaystyle {}={AX.DX \over CY.BY},}$ 

${\displaystyle {}={PX.QX \over PY.QY},}$ 

${\displaystyle {}={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},}$ 

由于${\displaystyle PM\,}$  = ${\displaystyle MQ\,}$ 

现在，

${\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}$ 

因此，我们得出结论： ${\displaystyle MX=MY\,}$ ，也就是说，${\displaystyle M\,}$ 是${\displaystyle XY\,}$ 的中点。

证毕。