截面 (几何)

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截面（英语：Cross section）为一几何学名词，是指一三维空间下的物体和一平面相交所产生交集。截面的面积称为截面积，被截面分离的物体称为截面体。

祖暅原理说明若两个固体对应的截面积相等，则其体积相等。

一物体以特定角度观看时的截面积（${\displaystyle A'}$）是该物体在此角度下正交投影的总面积。例如一高为h，半径为r的圆柱，若沿着其中心轴，其截面积${\displaystyle A'=\pi r^{2}}$，若沿着任一个和中心轴垂直的线，其截面积 ${\displaystyle A'=2rh}$。一个半径为r的球体，在任意角度下的截面积均为${\displaystyle A'=\pi r^{2}}$。一物体的截面积可由下式的曲面积分求得：

${\displaystyle A'=\iint \limits _{\mathrm {top} }d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} ,}$

其中

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$为沿着指定方向的单位向量

${\displaystyle d\mathbf {A} }$是单位表面积向量，向量方向为往外的法向量。

而且上述积分只针对物体最上方的表面，也就是以观者角度可见的那一面。对于一个凸体的物体，从观者角度到物体的射线都会和物体的表面交会二次。因此上述积分可以以取绝对值的方式，针对整个表面计算，再除以2得到截面积如下：

${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\iint \limits _{A}|d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} |}$