库拉托夫斯基十四集问题

在点集拓扑学中，库拉托夫斯基十四集问题叙述是：给定拓朴空间的子集，对做任意有限次数的取补集或闭包，最多可以得到几个不同的集合？

本问题又被称作闭包补集问题，由库拉托夫斯基于1922年提出，并给出了解答 14[1] 。约翰·L·凯利撰写的拓朴学经典教科书 General Topology 将库拉托夫斯基十四集问题收录做为一题习题[2]，使得本问题在往后的 30 年间被许多人所熟知。

证明

对所有子集 ，将 的补集记为 ，闭包记为 ，则有以下 3 件事实

  1.   (取补集是对合的)
  2.   (取闭包是幂等的)
  3.   (或等价的 ，等价性来自 1.)

由 1. 和 2. 知，只需要考虑以下两个序列就足够了

  及  

再由 3. 知，最多只会有 14 个相异集合。

若对 取补集或闭包可以产生恰好 14 个相异集合，则称 是个 14-集。事实上，实数空间  与一般实数上的拓朴，形成的拓朴空间就有包含 14-集，例如

 

其中 ( , ) 和 [ , ] 分别代表开区间和闭区间。

其他结果

1962 年 T.A. Chapman 发现，对 做任意有限次数的取内部或闭包，则最多可以得到 7 几个不同的集合。证明仍然化约到讨论下面的两个序列

  及  

其中， 代表 的内部。

代数结构

虽然问题是属于点集拓朴学，但是出乎意料的，它的性质却比较代数，而非拓朴。1960 年代，类似概念的问题不断被提出，然而大部分却已经跟拓朴本身不太有关系了[3]。

此外，取闭集或补集的运算定义了一个幺半群，可以用来对不同拓朴空间做分类[4]。

参考资料

  1. ^ Kuratowski, Kazimierz. Sur l'operation A de l'Analysis Situs (PDF). Fundamenta Mathematicae (Warsaw: Polish Academy of Sciences). 1922, 3: 182–199 [2019-01-29]. ISSN 0016-2736. （原始内容存档 (PDF)于2018-07-20）. 
  2. ^ Kelley, John. General Topology. Van Nostrand. 1955: 57. ISBN 0-387-90125-6. 
  3. ^ Hammer, P. C. Kuratowski's Closure Theorem. Nieuw Archief voor Wiskunde (Royal Dutch Mathematical Society). 1960, 8: 74–80. ISSN 0028-9825. 
  4. ^ Schwiebert, Ryan. The radical-annihilator monoid of a ring. doi:10.1080/00927872.2016.1222401. 

外部链接