同调球面

数学的代数拓扑学中，同调球面是n维流形X，具有n-球面的同调群。在此n ≥ 1是整数。换言之，

H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z)
对所有其他i，Hi(X,Z) = {0} .

因此X是一个连通空间，仅有一个非零的高阶贝蒂数bn（除了 b0=1 外）。

由于Hn(X,Z)非零，故X是紧致及可定向的。

当n > 1时，虽然H1(X,Z) = {0}，不过并不表示X是单连通的，即X的基本群未必是平凡的，只表示其基本群是完满群。（参看Hurewicz定理）

有理同调球面的定义与上述类似，不过用有理系数的同调群代替。

庞加莱同调球面

庞加莱同调球面（又称为庞加莱十二面体空间）是同调球面的一个例子。庞加莱同调球面是球面3-流形（英语：spherical 3-manifold），因此基本群是有限的。同调3-球面中，除了3-球面之外，就只有庞加莱同调球面有有限基本群。它的基本群称为binary icosahedral group（英语：binary icosahedral group），这个群的目是120。

庞加莱在1900年猜想使用同调群就可以分辨3-流形是否3-球面，1904年他提出了这个反例，并引入了基本群概念证明他的反例不是球面，又将原来的猜想修改为庞加莱猜想。

构造法

庞加莱同调球面的一个简单构造法是使用正十二面体。将正十二面体的每个面与相对的另一面等同，将两个面用顺时针方向的最小“扭转”重合。这样黏合后得出的是闭3-流形。（参看用相似构造法及较大的“扭转”而成的Seifert–Weber space（英语：Seifert–Weber space），得出的是一个双曲3-流形。）

另一个得出庞加莱同调球面的方法，是用商空间SO(3)/I，此处 I 是二十面体群，就是正二十面体和正十二面体的旋转对称群，同构于交错群A5。更直观地说，庞加莱同调球面就是正二十面体在三维欧几里得空间中，所有可从几何区别的位置所组成的空间。

性质

二重悬垂定理（英语：Double suspension theorem）指一个同调球面的二重悬垂是一个拓扑球面。

应用

若A是一个不同胚于3-球面的同调3-球面，则A的悬垂（英语：suspension (topology)）是一个4维同调流形，却不是拓扑流形。A的二重悬垂同胚于5-球面，但是从A的三角剖分（英语：Triangulation (topology)）诱导出来的三角剖分不是分片线性流形（英语：Piecewise linear manifold）。换言之，这给出了一个有限单纯复形例子，是拓扑流形，但不是分片线性流形，

Galewski－Stern证明了任何至少5维的（无边）紧流形都同胚于某单纯复形，当且仅当存在一个同调3-流形Σ，其Rokhlin不变量（英语：Rokhlin invariant）是1，使得它与自身的连通和Σ#Σ包围了一个光滑零调（acyclic）4-流形。2013年，Ciprian Manolescu证明了不存在这样的同调3-流形Σ。[1]因此存在5-流形不同胚于单纯复形。特别地，Galewski－Stern原来给出的例子是不可三角剖分的。[2]

参考

  1. ^ Manolescu, Ciprian. Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture. arXiv:1303.2354  .  To appear in Journal of the AMS.
  2. ^ D. Galewski and R. Stern. A universal 5-manifold with respect to simplicial triangulations, in Geometric topology. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977) (New York: Academic Press). 1979: pp.345–350. 

参看