等化子

设${\displaystyle X}$ 与${\displaystyle Y}$ 为集合。又设${\displaystyle f,g}$ 为从${\displaystyle X}$ 至${\displaystyle Y}$ 的函数。则${\displaystyle f}$ 与${\displaystyle g}$ 的等化子为${\displaystyle X}$ 中所有满足${\displaystyle f(x)=g(x)}$ 的元素${\displaystyle x}$ 的集合，以符号表示为：

${\displaystyle \operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.}$ 

等化子可以表示成${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)}$ 或类似的符号，如改成小楷${\displaystyle \mathrm {eq} }$ 。有时非正式地写成${\displaystyle \{f=g\}}$ 。

上述定义用到两个函数${\displaystyle f,g}$ ，但其实不必限制为两个函数，甚至不必为有限多个函数。一般而言，若${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是一族函数，从${\displaystyle X}$ 映向${\displaystyle Y}$ ，则${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的元素的等化子，是使${\displaystyle f(x)}$ 对所有${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ 皆相等的元素${\displaystyle x\in X}$ 的集合。以符号表示：

${\displaystyle \operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.}$ 

若${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 可以写成${\displaystyle \{f,g,h,\ldots \}}$ ，则等化子亦记为${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g,h,\ldots )}$ 。此情况下，亦可非正式地写成${\displaystyle \{f=g=h=\cdots \}}$ 。

作为一般定义的退化，考虑${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 为单元集${\displaystyle \{f\}}$ 。由于${\displaystyle f(x)}$ 必然等于自己，等化子等于整个定义域${\displaystyle X}$ 。更退化的情况下，设${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 为空集。则等化子仍为全个定义域${\displaystyle X}$ ，因为条件的全称量化命题为空真命题（英语：vacuously true）。

二元的等化子（即两个函数的等化子）又称差核（英语：difference kernel）。${\displaystyle f,g}$ 的差核可以记为${\displaystyle \mathrm {DiffKer} (f,g)}$ 、${\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)}$ 、${\displaystyle \mathrm {Ker} (f-g)}$ 。最后一种写法表明名称的由来，是两个函数之差的核，而且抽象代数中，该写法亦最常用。此外，单一个函数${\displaystyle f}$ 的核，可以作为差核${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,{\boldsymbol {0}})}$ 找到，其中${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ 表示取零值的常数函数。

以上假设核的意义如同抽象代数中，解作某函数作用下，${\displaystyle 0}$ 的原像，但在范畴论定义中，并不一定。

等化子可以用泛性质定义，以将此概念从集合范畴推广到任意的范畴。

一般地，在任意范畴中，设${\displaystyle X,Y}$ 为物件，而${\displaystyle f,g}$ 为自${\displaystyle X}$ 往${\displaystyle Y}$ 的态射。此两件物件及两个态射组成该范畴的一幅图，而${\displaystyle f,g}$ 的等化子，则是该图表的极限。

具体而言，等化子是物件${\displaystyle E}$ 与态射${\displaystyle \mathrm {eq} :E\to X}$ 的整体，满足${\displaystyle f\circ eq=g\circ eq}$ ，且对任意物件${\displaystyle O}$ 与态射${\displaystyle m:O\to X}$ ，若有${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$ ，则存在唯一的态射${\displaystyle u:O\to E}$ ，使得${\displaystyle \mathrm {eq} \circ u=m}$ 。

其中态射${\displaystyle m:O\rightarrow X}$ 满足的条件，即${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$ ，又称为等化（英语：equalise）${\displaystyle f}$ 与 ${\displaystyle g}$ 。^[1]

在泛代数范畴，例如有定义差核的范畴，或集合范畴${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ，物件${\displaystyle E}$ 总可以按原始定义（即${\displaystyle \{x:f(x)=g(x)\}}$ ）选取，而相应的态射${\displaystyle \mathrm {eq} }$ 则是${\displaystyle E}$ 作为${\displaystyle X}$ 子集的包含映射。

可以直接推广到多于两支态射的情况，只要用在图中，添加更多支态射，然后再取极限便可。同样，只有一支态射的退化情况也很直接，而${\displaystyle \mathrm {eq} }$ 可以取为任何由${\displaystyle E}$ 至${\displaystyle X}$ 的同构。

但是，无态射的退化情况较为特殊，要较仔细画出正确的图。一开始，可能会尝试画出物件${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ ，然后不加任何态射。然而，此为不正确，因为该图的极限，是${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 的范畴论积，而非所求的等化子（应为${\displaystyle X}$ ）。正确观念是，等化子的定义，与定义域${\displaystyle X}$ 密切相关（例如在集合范畴的情况下，${\displaystyle X}$ 出现在定义式中），但与${\displaystyle Y}$ 的关联则仅在于${\displaystyle Y}$ 是图中态射的陪域。 所以，若无态射，则${\displaystyle Y}$ 不必出现，故图仅有${\displaystyle X}$ 。此图的极限，是任何${\displaystyle E}$ 与${\displaystyle X}$ 间的同构。

可以证明，任意范畴中的等化子，皆为单态射。反之，若逆命题成立，即单态射皆为某两支态射的等化子，则该范畴（在单态射意义下）称为正则（英语：regular）。更一般地，任意范畴中，正则单态射是某族态射的等化子。也有作者更严格，要求其为某两个态射的二元等化子。然而，若所考虑的范畴完备（英语：complete category），则两种定义一致。

范畴论中，也有差核的概念。术语“差核”在范畴论各处也常用作描述二元等化子。预可加范畴中（于阿贝尔群范畴（英语：Category of abelian groups）上浓缩（英语：enriched category）的范畴，粗略而言，即每个态射集${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$ 皆具阿贝尔群结构），“差核”一词能逐字理解，因为两支（相同端点的）态射之差有定义，即${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)=\mathrm {Ker} (f-g)}$ ，其中${\displaystyle \mathrm {Ker} }$ 表示范畴论核（英语：kernel (category theory)）。

若范畴有拉回（纤维积）及积，则有等化子。

• 余等化子（英语：Coequalizer），等化子的对偶（英语：dual (category theory)）概念，将定义中所有态射的方向反转而得。
• 重合理论（英语：Coincidence theory），不动点理论的推广，拓扑学中，研究拓扑空间等化子的理论。
• 拉回，可以用等化子和范畴论积构造的一类极限。

• nLab的Equalizer条目

• 一个互动网站，给出有限集范畴中的等化子例子。由Jocelyn Paine编写。