双积在范畴论中，双积是直积在预加法范畴中的推广，它同时是范畴论意义下的积与上积。 定义 令 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 为预加法范畴，因而任两个对象 A , B {\displaystyle A,B} 间的态射集 H o m C ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)} 是交换群。给定有限个对象 A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}} ，假设有： 对象 A {\displaystyle A} ，通常表作 A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}} 。 态射 p k : A → A k {\displaystyle p_{k}:A\to A_{k}} （称为射影） 态射 i k : A k → A {\displaystyle i_{k}:A_{k}\to A} （称为内射）并假设： i 1 ∘ p 1 + … i n ∘ p n = i d A {\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\ldots i_{n}\circ p_{n}=\mathrm {id} _{A}} p k ∘ i k = i d A k {\displaystyle p_{k}\circ i_{k}=\mathrm {id} _{A_{k}}} k ≠ l ⇒ p k ∘ i l = 0 {\displaystyle k\neq l\Rightarrow p_{k}\circ i_{l}=0} 则称 A {\displaystyle A} 是 A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}} 的双积。 注意到若在定义中取 n = 0 {\displaystyle n=0} ，则“空双积”是一个对象 0 {\displaystyle 0} ，使得恒等映射是零映射。 例子 交换群范畴中存在双积，此时的双积即直和。 一个域或除环上的向量空间也有双积，即向量空间的直和。性质 如果空双积存在，并且所有二元双积 A 1 ⊕ A 2 {\displaystyle A_{1}\oplus A_{2}} 存在，则所有双积皆存在。 预加法范畴中的双积同时是范畴意义下的积与上积，这是双积一词的由来。由此可导得空双积是零对象。 反之，预加法范畴中的积或上积也带有自然的双积结构。