极值长度

设${\displaystyle D}$ 是复平面中的开集。设${\displaystyle \Gamma }$ 是在${\displaystyle D}$ 中的可求长曲线族。${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$ 是博雷尔可测函数。对任意可求长曲线${\displaystyle \gamma }$ ，设

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|}$ 

表示${\displaystyle \gamma }$ 的${\displaystyle \rho }$ 长度，其中${\displaystyle |dz|}$ 表示欧氏线元。（可能有${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$ 。）又设

${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).}$ 

${\displaystyle \rho }$ 的面积定义为

${\displaystyle A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,}$ 

而${\displaystyle \Gamma }$ 的极值长度定义为

${\displaystyle EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,}$ 

其中最小上界是取自所有满足${\displaystyle 0<A(\rho )<\infty }$ 的博雷尔可测函数${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$ 。若${\displaystyle \Gamma }$ 包含了不可求长曲线，将${\displaystyle \Gamma }$ 中可求长曲线的子集记为 ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ，则 ${\displaystyle EL(\Gamma )}$ 定义为${\displaystyle EL(\Gamma _{0})}$ 。

${\displaystyle \Gamma }$ 的模是${\displaystyle 1/EL(\Gamma )}$ 。

${\displaystyle {\overline {D}}}$ 中的两个集合在${\displaystyle D}$ 中的极值距离，是在${\displaystyle D}$ 中两个端点分别在这两个集合的曲线族的极值长度。

• Ahlfors, Lars V., Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co., 1973, MR 0357743