外正割

外正割为三角函数的一种，现较少使用。符号表示为 $\operatorname {exsec} x$ , $\operatorname {exc} x$ 等。与正割函数的的关系： $\operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-1={\frac {1}{\cos(\theta )}}-1$ 。此函数可应用在铁路工程学、测量学、球面几何学等学科。

图为在单位圆上表示的三角函数。

恒等式

导数

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\sec(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos ^{2}(\theta )}}

积分

\int \operatorname {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C

反函数

\operatorname {arcexsec} (y)=\operatorname {arcsec}(y+1)=\arccos \left({\frac {1}{y+1}}\right)=\arctan({\sqrt {y^{2}+2y}})

(对于 y ≤ −2 或 y ≥ 0)

其他性质

外正割函数可由正切函数表示为： $\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right).$

参考文献

埃里克·韦斯坦因. Exsecant. MathWorld.

另见