抛物柱面坐标系

抛物柱面坐标系(英语:Parabolic cylindrical coordinates)是一种三维正交坐标系。往 z-轴方向延伸二维的抛物线坐标系 ,则可得到抛物柱面坐标系。其坐标曲面是共焦的抛物柱面。抛物柱面坐标可以应用于许多物理问题。例如,物体边缘的位势论

抛物柱面坐标系的几个坐标曲面。红色抛物柱面的 。黄色抛物柱面的 。蓝色薄面的 。z-轴是垂直的,以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个曲面相交于点 P (显示为黑色的圆球),直角坐标大约为
抛物线坐标系的 的等值曲线。横轴与纵轴分别为 x-轴与 y-轴。抛物线坐标系可以往 z-轴延伸。对于任意 z-坐标,这曲线图都正确无误。

基本定义

直角坐标   可以用抛物柱面坐标   表示为

 
 
 

其中,  

坐标   为常数的曲线形成共焦的,凹性往 +y-轴的抛物柱面

 

而坐标   为常数的曲线形成共焦的,凹性往 -y-轴的抛物柱面

 

这些抛物柱面的焦线的位置都在 z-轴。

径向距   的公式为

 

当解析经典力学反平方连心力问题时,假若采用抛物柱面坐标的哈密顿-亚可比方程式,则会用到这很有用的公式。参阅 拉普拉斯-龙格-冷次向量

标度因子

抛物柱面坐标    的标度因子相等;而   的标度因子是 1 :

 
 

无穷小体积元素是

 

拉普拉斯算子

 

其它微分算子,像    ,都可以用   坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

抛物柱面坐标有一个经典的应用,这是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里,抛物柱面坐标允许分离变数法的使用。个典型的例题是,有一块半无限的平板导体,请问其周围的电场为什么?应用抛物柱面坐标,我们可以精致地分析这例题。

参阅

参考文献

外部链接