典型相关

推导

设 ${\displaystyle \Sigma _{XX}=\operatorname {cov} (X,X)}$  和 ${\displaystyle \Sigma _{YY}=\operatorname {cov} (Y,Y)}$ 。需要最大化的参数为

${\displaystyle \rho ={\frac {a'\Sigma _{XY}b}{{\sqrt {a'\Sigma _{XX}a}}{\sqrt {b'\Sigma _{YY}b}}}}.}$ 

第一步是定义一个基变更以及

${\displaystyle c=\Sigma _{XX}^{1/2}a,}$ 

${\displaystyle d=\Sigma _{YY}^{1/2}b.}$ 

因此我们有

${\displaystyle \rho ={\frac {c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d}{{\sqrt {c'c}}{\sqrt {d'd}}}}.}$ 

根据柯西-施瓦茨不等式，我们有

${\displaystyle \left(c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\right)d\leq \left(c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}\left(d'd\right)^{1/2},}$ 

${\displaystyle \rho \leq {\frac {\left(c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}}{\left(c'c\right)^{1/2}}}.}$ 

如果向量 ${\displaystyle d}$  和 ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c}$  共线，那么上式相等。此外，如果 ${\displaystyle c}$  是矩阵 ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}}$  (见Rayleigh quotient) 最大特征值对应的特征向量，那么就可以得到相关的最大值。随后的典型变量对可以通过减少特征值的量级来得到。正交性保证了相关矩阵的对称性。

解法

因此解法是：

• ${\displaystyle c}$  是 ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}}$  的一个特征向量。
• ${\displaystyle d}$  是 ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c}$  的比例项。

相反地，也有：

• ${\displaystyle d}$  是 ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}}$  的一个特征向量。
• ${\displaystyle c}$  是 ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d}$  的比例项。

把坐标反过来，我们有

• ${\displaystyle a}$  是 ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}}$  的一个特征向量。
• ${\displaystyle b}$  是 ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}}$  的一个特征向量。
• ${\displaystyle a}$  是 ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}b}$  的比例项。
• ${\displaystyle b}$  是 ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}a}$  的比例项。

那么相关变量定义为：

${\displaystyle U=c'\Sigma _{XX}^{-1/2}X=a'X}$ 

${\displaystyle V=d'\Sigma _{YY}^{-1/2}Y=b'Y}$ 

实现

典型相关分析可以用一个相关矩阵的奇异值分解来解决。^[4] 以下是它在一些语言中的函数 ^[5]

• MATLAB as canoncorr （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• R as cancor （页面存档备份，存于互联网档案馆） or in FactoMineR （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• SAS as The CANCORR Procedure （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Scikit-Learn, Python as Cross decomposition （页面存档备份，存于互联网档案馆）

每一行可以用下面的方法检测其重要性。由于相关是排好序的，也就是说行 ${\displaystyle i}$  为 0 意味着所有后续的相关都为 0。如果我们在一个样本中有 ${\displaystyle p}$  个独立观测，对 ${\displaystyle i=1,\dots ,\min\{m,n\}}$ ，${\displaystyle {\widehat {\rho }}_{i}}$  是其估计相关。对第 ${\displaystyle i}$  行，测试统计为：

${\displaystyle \chi ^{2}=-\left(p-1-{\frac {1}{2}}(m+n+1)\right)\ln \prod _{j=i}^{\min\{m,n\}}(1-{\widehat {\rho }}_{j}^{2}),}$ 

上面渐近为一个对大 ${\displaystyle p}$  有 ${\displaystyle (m-i+1)(n-i+1)}$  个自由度的卡方分布。^[6] 由于所有从 ${\displaystyle \min\{m,n\}}$  到 ${\displaystyle p}$  的相关从逻辑上来说都是 0，所以在这一点之后的乘积都是不相关的。

• Generalized Canonical Correlation
• Multilinear subspace learning
• RV coefficient
• Principal angles
• 主成分分析
• Regularized canonical correlation analysis
• 奇异值分解
• Partial least squares regression

• Hardoon, D. R.; Szedmak, S.; Shawe-Taylor, J. Canonical Correlation Analysis: An Overview with Application to Learning Methods. Neural Computation. 2004, 16 (12): 2639–2664. PMID 15516276. doi:10.1162/0899766042321814. 
• A note on the ordinal canonical-correlation analysis of two sets of ranking scores （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Also provides a FORTRAN program)- in J. of Quantitative Economics 7(2), 2009, pp. 173-199
• Representation-Constrained Canonical Correlation Analysis: A Hybridization of Canonical Correlation and Principal Component Analyses (Also provides a FORTRAN program)- in J. of Applied Economic Sciences 4(1), 2009, pp. 115-124