关系范畴

集合范畴是关系范畴的（宽）子范畴，其中集合范畴的态射${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ 对应至以${\displaystyle (x,y)\in F\iff f(x)=y}$ 定义的关系${\displaystyle F\subseteq X\times Y}$ 。^[3][4]

关系范畴中的态射为关系，而其相对应的、从其反范畴（英语：opposite category）映至关系范畴的态射有着反向的箭头，因此这态射是个逆关系（英语：Converse relation），因此关系范畴包含其反范畴且是个自双对（英语：Dual (category theory)）。^[5]

由逆关系作代表所建构的对合为关系范畴提供了一个短剑结构，因此关系范畴是一个短剑范畴（英语：dagger category）。

关系范畴有两个做为同态函子（英语：hom functor）并映至自己的函子，其中一个是二元关系${\displaystyle R\subseteq A\times B}$ ，另一个则是其转置${\displaystyle R^{T}\subseteq B\times A}$ ，而这两个二元关系的两种合成关系分别为${\displaystyle RR^{T}}$ 及${\displaystyle R^{T}R}$ ，其中第一个合成关系${\displaystyle RR^{T}}$ 给出了A上的齐次关系（英语：homogeneous relation）；而第二个合成关系${\displaystyle R^{T}R}$ 则给出B上的齐次关系。由于这些函子是映至关系范畴自身的同态函子之故，因此这些同态函子是内部同态函子；而由于这些内部同态函子之故，因此关系范畴是个闭范畴（英语：Closed category），且是个短剑紧致范畴（英语：dagger compact category）。

关系范畴可以克莱斯利范畴（英语：Kleisli category）的形式，由集合范畴得到，在这种状况下，其有着以对应至幂集的函子为协变函子的单子。

一个第一眼看上去可能令人有点惊讶的事实是，关系范畴当中的乘法是以不相交联集（而非如集合范畴一般的笛卡尔积）定义的^[5]:181，而其余积（英语：Coproduct）亦然。

就其幺半乘积${\displaystyle A\otimes B}$ 与内部同态函子${\displaystyle A\implies B}$ 而言，关系范畴是个闭幺半范畴（英语：Closed monoidal category）。

关系范畴是Peter J. Freyd与Andre Scedrov在1990年给出的代数结构寓范畴（英语：Allegory (mathematics)）的原型^[6]，他们自正则范畴（英语：regular category）与${\displaystyle F:A\longrightarrow B}$ 出发，他们注意到了派生函子${\displaystyle Rel(A,B)\longrightarrow Rel(FA,FB)}$ 的性质，像例如说这函子保存了合成、逆转跟相交等运算，而他们之后以这样的性质建构了寓范畴的公理。

David Rydeheard与Rod Burstall认为关系范畴有著作为齐次关系物件，一个例子是${\displaystyle A}$ 是一个集合而${\displaystyle R\subseteq A\times A}$ 是一个二元关系；而这个范畴的态射是集合间保持关系的函数，在${\displaystyle S\subseteq B\times B}$ 是第二个关系且${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ 是一个使得${\displaystyle xRy\implies f(x)Sf(y),}$ 成立的函数，那${\displaystyle f}$ 是一个态射。^[7]

Adamek、Herrlich与Strecker三氏进一步发展了这想法，他们将物件${\displaystyle (A,R)}$ 与${\displaystyle (B,S)}$ 给设成（集合，关系）。^[8]

• Francis Borceux. Handbook of Categorical Algebra: Volume 2, Categories and Structures. Cambridge University Press. 1994: 115 [2022-07-14]. ISBN 978-0-521-44179-7. （原始内容存档于2022-07-14）.