关系范畴

数学上,关系范畴(记做Rel)指的是以集合为物件、以二元关系态射范畴

Rel
关系范畴Rel.
Relop
Rel的反范畴Relop.

在这个范畴中,其态射之间的关系,因此

这范畴中两个关系的合成由下式给出:

,当且仅当对于一些而言,[1]

关系范畴又被一些人称为“集合间对应的范畴”(category of correspondences of sets)。[2]

性质

集合范畴是关系范畴的(宽)子范畴,其中集合范畴的态射 对应至以 定义的关系 [3][4]

关系范畴中的态射为关系,而其相对应的、从其反范畴英语opposite category映至关系范畴的态射有着反向的箭头,因此这态射是个逆关系英语Converse relation,因此关系范畴包含其反范畴且是个自双对英语Dual (category theory)[5]

由逆关系作代表所建构的对合为关系范畴提供了一个短剑结构,因此关系范畴是一个短剑范畴英语dagger category

关系范畴有两个做为同态函子英语hom functor并映至自己的函子,其中一个是二元关系 ,另一个则是其转置 ,而这两个二元关系的两种合成关系分别为  ,其中第一个合成关系 给出了A上的齐次关系英语homogeneous relation;而第二个合成关系 则给出B上的齐次关系。由于这些函子是映至关系范畴自身的同态函子之故,因此这些同态函子是内部同态函子;而由于这些内部同态函子之故,因此关系范畴是个闭范畴英语Closed category,且是个短剑紧致范畴英语dagger compact category

关系范畴可以克莱斯利范畴英语Kleisli category的形式,由集合范畴得到,在这种状况下,其有着以对应至幂集的函子为协变函子的单子

一个第一眼看上去可能令人有点惊讶的事实是,关系范畴当中的乘法是以不相交联集(而非如集合范畴一般的笛卡尔积)定义的[5]:181,而其余积英语Coproduct亦然。

就其幺半乘积 与内部同态函子 而言,关系范畴是个闭幺半范畴英语Closed monoidal category

关系范畴是Peter J. Freyd与Andre Scedrov在1990年给出的代数结构寓范畴英语Allegory (mathematics)的原型[6],他们自正则范畴英语regular category 出发,他们注意到了派生函子 的性质,像例如说这函子保存了合成、逆转跟相交等运算,而他们之后以这样的性质建构了寓范畴的公理。

关系作为物件

David Rydeheard与Rod Burstall认为关系范畴有著作为齐次关系物件,一个例子是 是一个集合而 是一个二元关系;而这个范畴的态射是集合间保持关系的函数,在 是第二个关系且 是一个使得 成立的函数,那 是一个态射。[7]

Adamek、Herrlich与Strecker三氏进一步发展了这想法,他们将物件  给设成(集合,关系)。[8]

参考资料

  1. ^ Mac Lane, S. Categories for the Working Mathematician 1st. New York: Springer-Verlag. 1988: 26. ISBN 0-387-90035-7. 
  2. ^ Pareigis, Bodo. Categories and Functors. Pure and Applied Mathematics 39. Academic Press. 1970: 6. ISBN 978-0-12-545150-5. 
  3. ^ Rydeheard与Burstall二氏将此范畴给记做SetRel
  4. ^ George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions页面存档备份,存于互联网档案馆, §7.2 RelSet, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
  5. ^ 5.0 5.1 Michael Barr & Charles Wells (1998) Category Theory for Computing Science 互联网档案馆存档,存档日期2016-03-04., page 83, from McGill University
  6. ^ Peter J. Freyd英语Peter J. Freyd & Andre Scedrov (1990) Categories, Allegories, pages 79, 196, North Holland ISBN 0-444-70368-3
  7. ^ David Rydeheard & Rod Burstall英语Rod Burstall (1988) Computational Category Theory, page 41, Prentice-Hall ISBN 978-0131627369
  8. ^ Juri Adamek, Horst Herrlich, and George E. Strecker (2004) [1990] Abstract and Concrete Categories页面存档备份,存于互联网档案馆), section 3.3, example 2(d) page 22, from Research group KatMAT页面存档备份,存于互联网档案馆) at University of Bremen