Powerful p-群

在数学的群论中，特别在p-群和pro-p-群的研究中，powerful p-群是一个起着重要作用的概念。这个概念是在（Lubotzky & Mann 1987）引入的，该文中并给出了几个应用，包括Schur乘子的一些结果。powerful p-群用于p-群的自同构研究（Khukhro 1998），受限制的Burnside问题的解答（Vaughan-Lee 1993），以coclass猜想作出的有限p-群分类（Leedham-Green & McKay 2002），及给出了很好的方法去理解解析pro-p-群（Dixon 等人 1991）。

正式定义

有限p-群 $G$ 称为powerful，于 $p$ 为奇数时，若交换子子群 $[G,G]$ 包含在子群 $G^{p}=\langle g^{p}|g\in G\rangle$ 内，而于p=2时若 $[G,G]$ 包含在子群 $G^{4}$ 内。

powerful p-群的性质

powerful p-群有很多性质与阿贝尔群类似，所以可作为p-群研究的好的基础。每个有限p-群可以表示为一个powerful p-群的section。

powerful p-群也可用于研究pro-p群，因为powerful p-群提供了简单方法去描绘p-进解析群（在p-进数上为流形的群）的特性：一个有限生成pro-p群是p-进解析的，当且仅当这个群包含一个powerful的开正规子群。这是Michel Lazard(1965)一个深刻结果的特例。

一些与阿贝尔p-群相似的性质有：若 $G$ 是powerful p-群，则：

$G$ 的Frattini子群 $\Phi (G)$ 有性质 $\Phi (G)=G^{p}$
$G^{p^{k}}=\{g^{p^{k}}|g\in G\}$ 对所有 $k\geq 1.$ 。就是以 $p^{k}$ 次幂生成的群，正是 $p^{k}$ 次幂的集合。
对所有 $k\geq 1$ ，若 $G=\langle g_{1},\ldots ,g_{d}\rangle$ ，则 $G^{p^{k}}=\langle g_{1}^{p^{k}},\ldots ,g_{d}^{p^{k}}\rangle$ 。
对所有 $k\geq 1$ ， $G$ 的下中心序列的第k位有性质 $\gamma _{k}(G)\leq G^{p^{k-1}}$ 。
powerful p-群的每个商群都powerful。
$G$ 的Prüfer秩等于 $G$ 的生成元的最小数目。

一些不太像阿贝尔群的性质有：若 $G$ 是powerful p-群，则

$G^{p^{k}}$ 是powerful。
$G$ 的子群不一定是powerful。

参考

Lazard, Michel (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ.Math.IHES 26 (1965), 389-603.
Dixon, J. D.; du Sautoy, M. P. F.; Mann, A.; Segal, D., Analytic pro-p-groups, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39580-1, MR1152800
Khukhro, E. I., p-automorphisms of finite p-groups, Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-59717-X, MR1615819
Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan, The structure of groups of prime power order, London Mathematical Society Monographs. New Series 27, Oxford University Press, 2002, ISBN 978-0-19-853548-5, MR1918951
Lubotzky, Alexander; Mann, Avinoam, Powerful p-groups. I. Finite Groups, J. Algebra, 1987, 105 (2): 484–505, doi:10.1016/0021-8693(87)90211-0, MR0873681
Vaughan-Lee, Michael, The restricted Burnside problem 2nd, Oxford University Press, 1993, ISBN 0-19-853786-7, MR1364414