魏尔斯特拉斯椭圆函数

固定 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  中的格 ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2}}$ （ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$  在 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  上线性无关），对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}}$ 。

显然右式只与格 ${\displaystyle \Lambda \,}$  相关，无关于基 ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\,}$  之选取。${\displaystyle \Lambda \,}$  的元素也称作周期。

另一方面，格 ${\displaystyle \Lambda \,}$  在取适当的全纯同态 ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$  后可表成 ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau }$ ，其中 ${\displaystyle \tau \,}$  属于上半平面。对于这种形式的格，

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}}$ 。

反之，由此亦可导出对一般的格之公式

${\displaystyle \wp (z;\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}\quad (\mathrm {Im} ({\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}})>0)}$ 

在数值计算方面，${\displaystyle \wp }$  可以由Θ函数快速地计算，方程是

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]}$ 

• 在周期格中的每个点，${\displaystyle \wp }$  有二阶极点。
• ${\displaystyle \wp }$  是偶函数。
• 复导函数 ${\displaystyle \wp '}$  是奇函数。

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{pmatrix}}=0}$ 

假设 ${\displaystyle u+v+w=0}$ ，上式有一个较对称的版本

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{pmatrix}}=0}$ 

此外

${\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).}$ 

魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式：若 ${\displaystyle 2z}$  不是周期，则

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),}$ 

定义 ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$ （依赖于 ${\displaystyle \Lambda }$ ）为

${\displaystyle g_{2}:=60\sum _{w\in \Lambda }'w^{-4}}$ 

${\displaystyle g_{3}:=120\sum _{w\in \Lambda }'w^{-6}}$ 

求和符号 ${\displaystyle \sum '_{w}}$  意谓取遍所有非零的 ${\displaystyle w}$ 。当 ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau }$  时，它们可由艾森斯坦级数 ${\displaystyle G_{4},G_{6}}$  表示。

则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$ 。

故 ${\displaystyle z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))}$  给出了从复环面 ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$  映至三次复射影曲线 ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}$  的全纯映射；可证明这是同构。

另一方面，将上式同除以 ${\displaystyle \wp '}$ ，积分后可得

${\displaystyle z_{1}-z_{2}=\int _{\wp (z_{1})}^{\wp (z_{2})}{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}}$ 。

右侧是复平面上的路径积分，对不同的路径 ${\displaystyle \wp (z_{1})\to \wp (z_{2})}$ ，其积分值仅差一个 ${\displaystyle \Lambda }$  的元素；所以左式应在复环面 ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$  中考虑。在此意义下，魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆。

续用上节符号，模判别式 ${\displaystyle \Delta }$  定义为下述函数

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$ 

视为周期格的函数，这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。

• Stein. Complex Analysis.
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island 编辑
  • Weierstrass's elliptic functions on Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
  • Elliptic functions, Hans Lundmark's Complex analysis page.