戴德金群

戴德金群（Dedekind group）指的是一类所有的子群都是正规子群的群，所有的交换群都是戴德金群，非交换的戴德金群又称汉弥尔顿群（Hamiltonian group）。^[1]

阶数最小的汉弥尔顿群是四元群，四元群具有八个元素，一般记做${\displaystyle Q_{8}}$。戴德金和贝尔（Reinhold Baer）证明说所有的汉弥尔顿群${\displaystyle H}$都是${\displaystyle H=Q_{8}\times B\times D}$的直积，其中${\displaystyle B}$是二阶初等阿贝尔群，而${\displaystyle D}$则是周期性交换群，且${\displaystyle D}$所有元素的阶数皆是奇数。

戴德金群以理查德·戴德金，戴德金曾在1897年的一篇文章中研究这类的群，并为有限群提供了上述的结构理论，他并以四元数的发现者威廉·哈密顿爵士之名来命名非交换的戴德金群。

在1898年，乔治·米勒（George Abram Miller）描述了汉弥尔顿群及其子群的阶的结构，像例如他发现说若一个汉弥尔顿群的阶数为${\displaystyle 2^{n}}$，那这个群会有一个阶数为${\displaystyle 2^{n}-6}$的四元数子群；在2005年，霍瓦特氏（Horvat）等人^[2]利用这样的结构来计算阶数为${\displaystyle 2^{n}a}$的汉弥尔顿群的数量，其中${\displaystyle a}$是一个奇数。在${\displaystyle n<3}$的时候，没有汉弥尔顿群的阶数为${\displaystyle 2^{n}a}$，对于其他的${\displaystyle n}$，阶数为${\displaystyle 2^{n}a}$的汉弥尔顿群的个数，和阶数为${\displaystyle a}$的交换群一样多。