理想的根

设 ${\displaystyle R}$  为交换环，${\displaystyle I\subset R}$  为其理想。该理想的幂零根 ${\displaystyle \mathrm {Rad} (I)}$ （或 ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ）定义为

${\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\{r\in R|\exists n,\;r^{n}\in I\ \}}$ 。

由二项式定理可知 ${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(I)}${\displaystyle \mathrm {Rad} (I)}   也是一个理想，并包含 ${\displaystyle I}$ 。当取 ${\displaystyle I=\{0\}}$  时，相应的根即是幂零元素的集合，也称作环的幂零根，有时记为 ${\displaystyle \mathrm {nil} (R)}$ 。记 ${\displaystyle \pi :R\to R/I}$  为商同态，则

${\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\pi ^{-1}({\hbox{nil}}(R/I))}$ 

利用局部化技巧，也可证明

${\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\bigcap \{P\in {\hbox{Spec}}(R):P\supset I\}}$ 。

为具体起见，考虑较简单的例子 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ 。每个非零理想都可写成 ${\displaystyle I=(\prod _{i}p_{i}^{e_{i}})}$ ，此处 ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$  取遍所有素数，${\displaystyle e_{i}}$  则是非负整数。易证

${\displaystyle {\sqrt {I}}=(\prod _{e_{i}>0}p_{i})}$ 。

设 ${\displaystyle R}$  为环（未必交换），其雅各布森根 ${\displaystyle J(R)}$  定义为所有单右 ${\displaystyle R}$ -模的零化子之交。对于双边理想 ${\displaystyle I\subset R}$ ，设 ${\displaystyle \pi :R\to R/I}$  为商同态，定义 ${\displaystyle J(I):=\pi ^{-1}(J(R/I))}$ 。

雅各布森根还有诸种等价的定义。当 ${\displaystyle R}$  交换时，有下述简单的性质：

${\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\bigcap \{P\in {\hbox{Spec-max}}(R):P\supset I\}}$ 。

换言之，此即所有包含 ${\displaystyle I}$  的极大理想之交。由此立见 ${\displaystyle J(I)\supset {\hbox{Rad}}(I)}$ 。

• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.