怀特黑德定理

在数学领域代数拓扑学同伦论中,怀特黑德定理说,拓扑空间XY之间的连续映射f,诱导出所有同伦群之间的同构,则当XY连通,并都有CW复形的同伦型的时候,f同伦等价。这条定理是J.H.C.怀特黑德在1949年的两篇重要论文中证明,给出理由以他在论文所引入的CW复形概念作为研究对象。

定理叙述

更准确而言,假设给定CW复形XY,各有基点xy。给定连续映射

 

使得f(x) = y。考虑对于n ≥ 1 的诱导同态

 

在此 πnn ≥ 1 是第n个同伦群。当 n = 0 ,这是道路连通分支间的映射,若假设XY是连通的,那么这映射不具有基点,可以忽略掉。若同态 f* 都是同构,便称 f 为一个弱同伦等价。怀特黑德定理说对于连通CW复形,一个弱同伦等价是一个同伦等价。

有同构同伦群的空间未必是同伦等价

有一点要注意:单单假设对每个n ≥ 1都有πn(X)与πn(Y)同构,并不足以得出XY是同伦等价。定理中必需设有映射f : XY能同时诱导出所有同伦群的同构。例如令 X= S2 × RP3Y= RP2 × S3。那么XY有相同的基本群π1,即是Z2,也有相同的万有覆叠空间,即是S2 × S3;因此它们有同构的同伦群(覆叠空间的投影诱导出对所有n ≥ 2的同伦群πn的同构)。不过,它们的同调群不同(可以从屈内特公式看出);所以XY不是同伦等价。

 
华沙圈

怀特黑德定理对于一般拓扑空间不成立,甚至不对Rn的所有子空间成立。例如,华沙圈(Warsaw circle)是平面的子集,所有的同伦群都是零,但是从华沙圈到一点的映射不是一个同伦等价。将这定理推广至更一般空间的研究,是形状理论的一部分。

参考文献

  • J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. I., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213–245
  • J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. II., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453–496
  • A. Hatcher, Algebraic topology页面存档备份,存于互联网档案馆), Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0 (see Theorem 4.5)