覆叠空间

• 考虑映射${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$ ，${\displaystyle p(x)=e^{2\pi ix}}$ 。对任意${\displaystyle s=e^{2\pi it}\in \mathbb {S} ^{1}}$ ，取其开邻域

${\displaystyle U:=\{e^{2\pi is}:|s-t|<{\frac {1}{2}}\}\simeq (-1/2,1/2)}$ 

${\displaystyle f:(-1/2,1/2)\times \mathbb {Z} {\stackrel {\sim }{\to }}p^{-1}(U),\quad f(t,n)=t+n}$ 

由此可见${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$ 是覆叠映射。

• 莫比乌斯带的二重复叠空间是 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times [0,1]}$ 。

局部性质 对于任何一个覆叠${\displaystyle p:C\to X}$ 都是一个局部同胚，这就是说，对任意的${\displaystyle c\in C}$ ，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且覆叠p变为同胚。 纤维上的同胚

连通空间${\displaystyle X}$ 的万有覆叠空间（若其存在）是范畴${\displaystyle \mathbf {Cov} _{X}}$ 的初始对象${\displaystyle u:{\tilde {X}}\to X}$ ，换言之，对每个覆叠${\displaystyle p:X'\to X}$ ，存在唯一的连续映射${\displaystyle f:{\tilde {X}}\to X'}$ 使得${\displaystyle p\circ f=u}$ 。万有覆叠若存在则必唯一。之前的${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$ 便是一例。

若要求${\displaystyle X}$ 局部道路连通且局部单连通，则万有覆叠空间存在。这类空间的主要例子有流形和单纯复形。在同样前提下，覆叠${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$ 是万有覆叠的充要条件是基本群${\displaystyle \pi _{1}({\tilde {X}},*)=\{e\}}$ 。

以下同样要求${\displaystyle X}$ 连通、局部道路连通且局部单连通。对于覆叠映射${\displaystyle p:Y\to X}$ ，选定${\displaystyle x\in X}$ 。在${\displaystyle \mathbf {Cov} _{X}}$ 中的自同构群${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)}$ 在纤维${\displaystyle p^{-1}(x)}$ 上的作用是自由的（即：${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)\to \mathrm {Aut} (p^{-1}(x))}$ 是单射），对于${\displaystyle x\in X}$ 的不同选取，此作用仅差个自然的同构。

若${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)}$ 的作用是传递的，则称${\displaystyle p:Y\to X}$ 为正则覆叠。万有覆叠必正则，反之则不然。按照纤维丛的观点，覆叠空间正是离散纤维的纤维丛，正则覆叠对应到主丛。

• Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2008-05-15]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容存档于2018-05-19）.