弗勒登塔尔悬垂定理

在数学的同伦论中，弗勒登塔尔悬垂定理是一条基础定理，引发出稳定同论群的概念，从而产生了稳定同伦论（英语：stable homotopy theory）。这条定理是汉斯·弗勒登塔尔（英语：Hans Freudenthal）在1937年证明，说明了把一个空间取悬垂（英语：Suspension (topology)）时，这个空间的同伦群的表现。

定理

令X为n-连通点标空间（英语：pointed space）（点标CW复形或点标单纯集合）。映射

X → Ω(X ∧ S¹)

诱导出群同态

π_k(X) → π_k(Ω(X ∧ S¹)).

此处∧是smash积（英语：smash product），Ω是闭路函子（英语：Loop functor）。X的悬垂是X ∧ S¹。

弗勒登塔尔悬垂定理指出，若k ≤ 2n，则所诱导的同态是群同构；若k = 2n + 1，则是满射。

闭路空间的一个初等结果是

π_k(Ω(X ∧ S¹)) ≅ π_k+1(X ∧ S¹).

因此定理中的映射也可以改换为

π_k(X) → π_k+1(X ∧ S¹),

但是要当心定理中同伦群的指数是哪一个。

推论

因为n-球面Sⁿ是(n − 1)-连通的，由定理知对n ≥ k + 2，同伦群π_n+k(Sⁿ)稳定，即是不依赖于n。（n-球面Sⁿ的悬垂是(n+1)-球面Sⁿ⁺¹）这些同伦群是球面的第k个稳定同伦群（英语：homotopy group of spheres）。

更一般地，固定k ≥ 1，对n ≥ k/2，对任何n-连通空间X都可以定义稳定同伦群。这其实是与X相关的谱（英语：Spectrum (topology)）的稳定同伦群。

参考

Freudenthal, H., Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen, Compositio Mathematica, 1938, 5: 299–314 [2015-04-18], （原始内容存档于2022-01-04） .
Goerss, P. G.; Jardine, J. F., Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics 174, Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser, 1999 .
Hatcher, Allen, Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, 2002 [2015-04-18], ISBN 0-521-79540-0, （原始内容存档于2012-02-20） .
Whitehead, G. W., On the Freudenthal Theorems, Annals of Mathematics, 1953, 57 (2): 209–228, JSTOR 1969855, MR 0055683, doi:10.2307/1969855 .