嘉当矩阵

所谓广义嘉当矩阵是具有下述性质的方阵 ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ：

1. 各项皆为整数：${\displaystyle \forall i,j,\;a_{ij}\in \mathbb {Z} }$ 。
2. 对角线上的项等于二：${\displaystyle \forall i,\;a_{ii}=2}$ 。
3. 非对角线项非正：${\displaystyle i\neq j\Rightarrow a_{ij}\leq 0}$ 
4. ${\displaystyle \forall i,j,\;a_{ij}=0\Leftrightarrow a_{ji}=0}$ 。
5. 存在正对角方阵 ${\displaystyle D}$  使 ${\displaystyle A}$  可以写成 ${\displaystyle DSD^{-1}}$ ，其中 ${\displaystyle S}$  是对称方阵。

第四个条件可由第一及第五个条件导出。在第五个条件中，若可取 ${\displaystyle S}$  为正定，则称 ${\displaystyle A}$  为嘉当矩阵。

若两个嘉当矩阵差一个排列矩阵的共轭：${\displaystyle A'=P^{-1}AP}$ ，则称两者同构。若一嘉当矩阵同构于分块对角的嘉当矩阵，则称之为可化的，反之则称为不可化。

由半单李代数可以得到根系，对应的广义嘉当矩阵定义为

${\displaystyle a_{ij}={2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}}$ 

其中 ${\displaystyle r_{i}}$  是选定的单根。单李代数对应于不可化嘉当矩阵。

不可化嘉当矩阵可透过连通丹金图分类。具体方式是取 ${\displaystyle n}$  个顶点（n 为嘉当矩阵 ${\displaystyle A}$  的阶数），将顶点 ${\displaystyle i,j}$  以 ${\displaystyle a_{ij}\cdot a_{ji}}$  条边相连。定义每个顶点的权 ${\displaystyle w_{i}}$  使得 ${\displaystyle w_{j}/w_{i}=a_{ij}/a_{ji}}$ ，若两个相邻顶点 ${\displaystyle i,j}$  的权不同，则规定边从权大者指向小者。这套模式类似于从根系定义丹金图的手法。

对于域 ${\displaystyle F}$  上的有限维结合代数 ${\displaystyle A}$ ，考虑不可约、${\displaystyle F}$ -有限维左 ${\displaystyle A}$ -模 ${\displaystyle N_{1},\ldots ,N_{n}}$ ，对每个 ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ，存在唯一的不可分解左射影模 ${\displaystyle P_{i}}$  （至多差一个同构），使得 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (P_{i},N_{i})\neq \{0\}}$ 。取 ${\displaystyle c_{ij}}$  为 ${\displaystyle N_{j}}$  在 ${\displaystyle P_{i}}$  的合成列中作为合成因子的重数。方阵 ${\displaystyle C:=(c_{ij})}$  称为 ${\displaystyle A}$  的嘉当矩阵。

• V.L. Popov, Cartan matrix, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4