合成列

抽象代数中。合成列是借着将代数对象(如等等)拆解为简单的成分,以萃取不变量的方式之一。以模为例,一般上的模未必能表成单模的直和。但是我们可退而求其次,考虑一组过滤 ,使每个子商 皆为单模;这些单模称为合成因子 称为合成长度,都是 的不变量。亦可考虑 的子模范畴 ,此时 可唯一表为合成因子之和;在此意义下,K-群提供了模的半单化

合成列未必存在,即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理断言:若一对象有合成列,则子商的同构类是唯一确定的,至多差一个排列。因此,合成列给出有限群阿廷模的不变量。

群的情形

  为群,  的合成列是对应于一族子群

 

满足  ,使其子商   皆为非平凡的单群;易言之,   的极大正规子群。这些子商也称作合成因子。对于有限群,恒存在合成列。

模的情形

固定环   -模   合成列是一族子模

 

其中每个子商   皆为非平凡的单模 。易言之,   的极大子模。这些子商也称为合成因子。若  阿廷环,根据 Hopkins-Levitzki 定理,任何有限生成 -模皆有合成列。

例子

例子. 考虑 12 阶循环群  ,它具有三个相异的合成列

 ,
 ,
 

合成因子分别为

 
 
 

其间仅差个排列。

若尔当-赫尔德定理

定理. 若群  〔或  -模  〕有合成列,则任两个合成列都有相同长度。合成因子的同构类与合成列的选取无关,其间至多差一个排列

略证:以下仅处理模的情形,群的情形可依此类推。假设存在两个合成列

 
 

 数学归纳法。若   ,若   单模。以下假定  

 ,据归纳法假设,    )之间仅差排列。此外  ,故定理成立。

 。此时必有  。置  ,于是

 
 

  的合成列  ,依上式知

 
 

皆为合成列,其合成因子仅差个换位。根据归纳法假设,若同删去尾项  ,则 (*) 与 (**) 的合成因子分别等同于合成列   的合成因子,至多差个排列。是故定理得证。

参见

  • 正规列
  • 长度 (模论)

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