合成列

设 ${\displaystyle G}$  为群，${\displaystyle G}$  的合成列是对应于一族子群

${\displaystyle \{e\}=H_{0}\subset H_{1}\subset \cdots \subset H_{n}=G}$ 

满足 ${\displaystyle H_{i}\triangleleft H_{i+1}}$ ，使其子商 ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}}$  皆为非平凡的单群；易言之，${\displaystyle H_{i}}$  是 ${\displaystyle H_{i+1}}$  的极大正规子群。这些子商也称作合成因子。对于有限群，恒存在合成列。

固定环 ${\displaystyle R}$  及 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$ 。${\displaystyle M}$  的合成列是一族子模

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}$ 

其中每个子商 ${\displaystyle J_{k+1}/J_{k}}$  皆为非平凡的单模 。易言之，${\displaystyle J_{k}}$  是 ${\displaystyle J_{k+1}}$  的极大子模。这些子商也称为合成因子。若 ${\displaystyle R}$  是阿廷环，根据 Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的 ${\displaystyle R}$ -模皆有合成列。

例子. 考虑 12 阶循环群 ${\displaystyle C_{12}}$ ，它具有三个相异的合成列

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$ ,

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12}}$ ,

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$ 

合成因子分别为

${\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2}}$ 

${\displaystyle C_{2},C_{2},C_{3}}$ 

${\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}}$ 

其间仅差个排列。

定理. 若群 ${\displaystyle G}$ 〔或 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$ 〕有合成列，则任两个合成列都有相同长度。合成因子的同构类与合成列的选取无关，其间至多差一个排列。

略证：以下仅处理模的情形，群的情形可依此类推。假设存在两个合成列

${\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{r}=M}$ 

${\displaystyle \{0\}=M'_{0}\subset \cdots \subset M'_{s}=M}$ 

对 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)}$  行数学归纳法。若 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=0}$  则 ${\displaystyle M=0}$ ，若 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=1}$  则 ${\displaystyle M}$  是单模。以下假定 ${\displaystyle r,s\geq 2}$ 。

若 ${\displaystyle M_{r-1}=M_{s-1}}$ ，据归纳法假设，${\displaystyle r-1=s-1}$  且 ${\displaystyle M_{i+1}/M_{i}}$  与 ${\displaystyle M'_{i+1}/M'_{i}}$ （${\displaystyle 0\leq i\leq r-2}$ ）之间仅差排列。此外 ${\displaystyle M/M_{r-1}=M_{/}M'_{s-1}}$ ，故定理成立。

设 ${\displaystyle M_{r-1}\neq M'_{s-1}}$ 。此时必有 ${\displaystyle M_{r-1}+M'_{s-1}=M}$ 。置 ${\displaystyle N:=M_{r-1}\cap M'_{s-1}}$ ，于是

${\displaystyle M/M_{r-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M_{r-1}\simeq M'_{s-1}/N}$ 

${\displaystyle M/M'_{s-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M'_{s-1}\simeq M_{r-1}/N}$ 

取 ${\displaystyle N}$  的合成列 ${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N}$ ，依上式知

${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M_{r-1}\subset M\quad \ldots (*)}$ 

${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M'_{s-1}\subset M\quad \ldots (**)}$ 

皆为合成列，其合成因子仅差个换位。根据归纳法假设，若同删去尾项 ${\displaystyle M}$ ，则 (*) 与 (**) 的合成因子分别等同于合成列 ${\displaystyle M_{\bullet },M'_{\bullet }}$  的合成因子，至多差个排列。是故定理得证。

• 正规列
• 长度 (模论)

• O.A. Ivanova, L.A. Skornyakov, Composition sequence, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4