欧尔条件

在数学中，欧尔条件是奥斯丁·欧尔在环论中引入的一个条件，它与非交换环的局部化相关。欧尔条件分成左右两个版本。以下设 ${\displaystyle A}$ 为一个环：

• 左欧尔条件：对任两个零元 ${\displaystyle x,y\in A}$，存在 ${\displaystyle u,v\in A}$ 使得 ${\displaystyle ux=vy\neq 0}$。

或者说，任两个非零左理想的交集非零。

• 左欧尔条件：对任两个非零元 ${\displaystyle x,y\in A}$，存在 ${\displaystyle u,v\in A}$ 使得 ${\displaystyle xu=yv\neq 0}$。

或者说，任两个非零右理想的交集非零。

满足左（右）欧尔条件的环称作左（右）欧尔环；除环是欧尔环的典型例子。当 ${\displaystyle R}$ 不是整环时，通常也采用一个较强的定义，要求条件中的 ${\displaystyle u,v}$ 不是零因子；此时欧尔定理保证存在一个称为“古典分式环”（分为左右两个版本）的环扩张。