黑林格-特普利茨定理

设${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 为希尔伯特空间，${\displaystyle T:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$ 是处处定义的对称线性算子，即对任意${\displaystyle x,\,y\in {\mathcal {H}}}$ 都有等式

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle }$ 。

那么，${\displaystyle T}$ 有界（因此也是连续）。

证明

从闭图像定理可知，只需证明：如果序列${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 趋于0，${\displaystyle y:=\lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n}}$ ，那么${\displaystyle y=0}$ 。因为内积在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上连续，故得

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle y,y\rangle &=\langle \lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n},y\rangle \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\langle Tx_{n},y\rangle \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\langle x_{n},Ty\rangle \\&=\langle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},Ty\rangle \\&=\langle 0,Ty\rangle \\&=0\end{aligned}}}$ 

所以${\displaystyle y=0}$ 。

• 任何对称且在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上处处定义的算子是自伴算子。
• 无界自伴算子最多只能定义在希尔伯特空间的一个稠密子集上。

这定理带出了量子力学的数学基础的一些技术难题。量子力学中的可观察量对应到某个希尔伯特空间上的自伴算符，但一些可观察量（如能量）的算符是无界的。这定理说这些算符不能处处定义，只能定义在稠密子集上。

以量子谐振子为例。这时希尔伯特空间是${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ，即${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上平方可积函数空间，能量算符${\displaystyle H}$ 定义为（设其单位选取使得${\displaystyle \hbar =m=\omega =1}$ ）

${\displaystyle [Hf](x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {{\mbox{d}}^{2}}{{\mbox{d}}x^{2}}}f(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}f(x).}$ 

这算符是自伴无界的（其特征值为1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整个${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 上定义。

• Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)