失踪的正方形

根据美国业余数学大师马丁·加德纳指出，本谜题是在1953年是由纽约市业余魔术师保罗·嘉理（Paul Curry）发明的。不过裁切悖论的原理自从1860年代就已为数学家所知了。

这谜题的关键是两个看似“13x5的直角三角形”实际上并不是直角三角形，而是凹四边形与凸四边形，目测不容易察觉到红色和蓝色三角形斜边的斜率有差别（其构成的夹角约为178°45′，接近却不是平角）。 因此误以为两个组合成的图形都是直角三角形。

四个图形（黄色、红色、蓝色和绿色图形）总共占32个单位面积，但是外面总“三角形”是宽13高5，合计32.5单位。蓝色三角形长宽比为5:2，红色三角则是8:3，并不是同一个长宽比。因此在每个图中外观上加成后的“斜边”实际上缩短了。

总共缩短的长度大约是一单位的28分之一，这在此谜题示例图上很难以看出。注意在蓝色红色斜边交界处的网格点，如果将它与另一张图的对应交界点比较，边缘稍稍溢出或者低于格点。来自两张图重叠后溢出的斜边导致一个非常细微的平行四边形，占据了刚好一格大小的面积，恰恰是第二张图“消失”的区域。

本谜题另类且较简单的版本（在动画里显示）使用四个相等的四边形以及一个小正方形，则组成一个较大的正方形。当四边形绕着其中心旋转，中间的小正方形将被填满，即使该图的总面积看起来没有变动。这外表上的悖论可由新形成的方形四边较原来的小了一点。如果 ${\displaystyle a}$  代表大正方形的四边和，且${\displaystyle \theta }$  是每个四边形相对边间的夹角，那两个旋转前旋转后方块面积间相除的商结果是${\displaystyle \sec ^{2}\theta -1}$ 。对于${\displaystyle \theta =5^{\operatorname {\mathrm {o} } }}$ ，结果大约是1.00765，故对应的差异大约0.8%。

• （英文）嘉理的悖论：这怎么可能？（页面存档备份，存于互联网档案馆） 于Cut-the-Knot
• （英文）三角形与悖论（页面存档备份，存于互联网档案馆） 于 archimedes-lab.org
• （英文）三角问题或者平淡无奇的现实不对劲之处
• （英文）拼图悖论（页面存档备份，存于互联网档案馆）