系统F

布尔类型被定义为： ${\displaystyle \forall \alpha .\alpha \to \alpha \to \alpha }$ ，这里的α是类型变量。这产生了下列对布尔值TRUE和FALSE的两个定义：

TRUE := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }\lambda y^{\alpha }.x}$ 

FALSE := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }\lambda y^{\alpha }.y}$ 

接着，通过这两个λ-项，我们可以定义一些逻辑算子：

AND := ${\displaystyle \lambda x^{Boolean}\lambda y^{Boolean}.((x(Boolean))y)FALSE}$ 

OR := ${\displaystyle \lambda x^{Boolean}\lambda y^{Boolean}.((x(Boolean))TRUE)y}$ 

NOT := ${\displaystyle \lambda x^{Boolean}.((x(Boolean))FALSE)TRUE}$ 

实际上不需要IFTHENELSE函数，因为你可以只使用原始布尔类型的项作为判定（decision）函数。但是如果需要一个的话：

IFTHENELSE := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{Boolean}\lambda y^{\alpha }\lambda z^{\alpha }.((x(\alpha ))y)z}$ 

谓词是返回布尔值的函数。最基本的谓词是ISZERO，它返回TRUE当且仅当它的参数是邱奇数 0:

ISZERO := λ n. n (λ x. FALSE) TRUE

系统F允许以同Martin-Löf类型论有关的自然的方式嵌入递归构造。抽象结构（S）是使用构造子建立的。有函数被定类型为：

${\displaystyle K_{1}\rightarrow K_{2}\rightarrow \dots \rightarrow S}$ 

当${\displaystyle S}$ 自身出现类型${\displaystyle K_{i}}$ 中的一个内的时候递归就出现了。如果你有${\displaystyle m}$ 个这种构造子，你可以定义${\displaystyle S}$ 为：

${\displaystyle \forall \alpha .(K_{1}^{1}[\alpha /S]\rightarrow \dots \rightarrow \alpha )\dots \rightarrow (K_{1}^{m}[\alpha /S]\rightarrow \dots \rightarrow \alpha )\rightarrow \alpha }$ 

例如，自然数可以被定义为使用构造子的归纳数据类型${\displaystyle N}$ 

${\displaystyle {\mathit {zero}}:\mathrm {N} }$ 

${\displaystyle {\mathit {succ}}:\mathrm {N} \to \mathrm {N} }$ 

对应于这个结构的系统F类型是 ${\displaystyle \forall \alpha .\alpha \to (\alpha \to \alpha )\to \alpha }$ 。这个类型的项由有类型版本的邱奇数构成，前几个是：

0 := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.x}$ 

1 := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.fx}$ 

2 := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.f(fx)}$ 

3 := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.f(f(fx))}$ 

如果我们反转curried参数的次序（比如${\displaystyle \forall \alpha .(\alpha \to \alpha )\to \alpha \to \alpha }$ ），则${\displaystyle n}$ 的邱奇数是接受函数f作为参数并返回f的n次幂的函数。就是说，邱奇数是一个高阶函数 -- 它接受一个单一参数函数f，并返回另一个单一参数函数。

本文用的系统F版本是显式类型的，或邱奇风格的演算。包含在λ-项内的类型信息使类型检查直接了当。Joe Wells（1994）设立了一个"难为人的公开问题"，证明系统 F的Curry-风格的变体是不可判定的，它缺乏明显的类型提示。[1] [2]

Wells的结果暗含着系统F的类型推论是不可能的。一个限制版本的系统F叫做"Hindley-Milner"，或简称"HM"，有一个容易的类型推论算法，并用于了很多强类型的函数式编程语言，比如Haskell和ML。

• Girard, Lafont and Taylor, 1997. Proofs and Types. Cambridge University Press.
• J. B. Wells. "Typability and type checking in the second-order lambda-calculus are equivalent and undecidable." In Proceedings of the 9th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS), pages 176-185, 1994. [3] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• Summary of System F （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Franck Binard.