累次极限

为简单起见，以讨论二元函数${\displaystyle f(x,y)}$ 为限。假设变量${\displaystyle x,y}$ 的变动区域${\displaystyle D}$ 是这样：${\displaystyle x}$ 可以(与${\displaystyle y}$ 无关的)取集${\displaystyle X}$ 内的任意数值，${\displaystyle X}$ 以不属于它的点${\displaystyle a}$ 作为聚点，同样${\displaystyle y}$ 可以(与${\displaystyle x}$ 无关的)在集${\displaystyle Y}$ 内变动，${\displaystyle Y}$ 以不属于它的点${\displaystyle b}$ 作为聚点。这样区域${\displaystyle D}$ 可以记为${\displaystyle X\times Y}$ 。

若对${\displaystyle Y}$ 内任一固定的${\displaystyle y}$ ，函数${\displaystyle f(x,y)}$ (它将只是${\displaystyle x}$ 的函数)在${\displaystyle x\to a}$ 时有极限存在，则这极限。一般地说，将与预先固定的${\displaystyle y}$ 值有关:

${\displaystyle \lim _{x\to {a}}f(x,y)=\phi (y)}$ 

然后可以讨论函数${\displaystyle \phi (y)}$ 在${\displaystyle y\to b}$ 时的极限：

${\displaystyle \lim _{y\to {b}}\phi (y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$ 

这就是两个累次极限之一，若趋于极限的过程由相反的次序进行，就得出另一累次极限；

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$