黎曼级数定理

给定无穷级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ，其部分和为：${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ 。如果部分和的数列

${\displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}}$ 

收敛于某个数值：${\displaystyle \ell }$ ，则级数收敛。也就是说，如果对于任何的${\displaystyle \epsilon >0}$ ，总存在一个整数N，使得如果${\displaystyle n\geq N}$ ，则

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \epsilon }$ .

那么级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 收敛。如果级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 收敛，但级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert }$ 发散，则称此级数是条件收敛的。^[1]:149

假设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数${\displaystyle C}$ ，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列${\displaystyle \sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)}$ ，使得

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}$ 

此外，也存在另一种排列${\displaystyle \sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)}$ ，使得

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}$ 

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于${\displaystyle -\infty }$ ，或没有任何极限。^[2]:192

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。^[2]:193

交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子：

${\displaystyle A_{h}=\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$ 

收敛，而

${\displaystyle S_{h}=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}$ 

是调和级数，它是发散的。虽然在标准的表示法中，交错调和级数收敛于ln(2)，我们可以把它的项重新排列，使它收敛于任何一个数，甚至发散。例如，如果排列为以下的形式，

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }$ 

那么这时的和等于${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$ 

可以看出，它的和是原来的和的一半。^{[1]:153-154[3]:108-111}

趋近任一个实数

用不同的排列方法，可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上，由于调和级数${\displaystyle \sum _{n}{\frac {1}{n}}}$ 是发散的，它的部分和可以近似估计为：

${\displaystyle S_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\gamma +\ln N+o(1),}$ 

其中${\displaystyle o(1)}$ 表示一个当N趋于无穷大时的无穷小，${\displaystyle \gamma }$ 指欧拉常数。如果将调和级数${\displaystyle A_{h}}$ 中所有负项（也就是所有偶数项）相加，得到的级数会是：

${\displaystyle A_{h}^{-}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\cdots =-{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)}$ 

它的部分和是：

${\displaystyle A_{N}^{-}=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2n}}=-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln N+o(1),}$ 

因此所有正项相加的级数${\displaystyle A_{h}^{+}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots }$ 的部分和是：

${\displaystyle A_{N}^{+}=A_{N}-A_{N}^{-}=\ln 2+{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\ln N\right)+o(1),}$ 

这也是一个发散级数，趋向正无穷。因此，对任意给定的正实数${\displaystyle C}$ ，可以使用以下的算法来构造出趋向${\displaystyle C}$ 的重排级数${\displaystyle A^{\sigma }}$ 的每一项：

1. 从第一项起，将${\displaystyle A_{h}}$ 中的正项（奇数项）从前往后放入，一直放到超过${\displaystyle C}$ 为止：必定存在一个自然数${\displaystyle N_{1}}$ ，使得${\displaystyle A_{N_{1}-1}^{+}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}}$ （假设${\displaystyle A_{0}=0}$ ）。将第1至第${\displaystyle N_{1}}$ 项定义为：

   ${\displaystyle \forall k=1,2,\cdots ,N_{1},\,\,\sigma (k)=2k-1}$ 

2. 从第${\displaystyle N_{1}+1}$ 项开始，将${\displaystyle A_{h}}$ 中的负项（偶数项）从前往后放入，一直放到小于${\displaystyle C}$ 为止：必定存在一个自然数${\displaystyle N_{2}>N_{1}}$ ，使得${\displaystyle A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}-1}^{-}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}}^{-}}$ 。将第${\displaystyle N_{1}+1}$ 至第${\displaystyle N_{2}}$ 项定义为：

   ${\displaystyle \forall k=N_{1}+1,N_{1}+2,\cdots ,N_{2},\,\,\sigma (k)=2k-2N_{1}}$ 

交替重复这两步来重排级数，可以将重排级数的部分和${\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}$ 保持在${\displaystyle C}$ 上下，而因为${\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}$ 是重复第k步时首次“跨过”${\displaystyle C}$ 时候的值，因而它与${\displaystyle C}$ 的差距必定不超过“跨越”时的“步长”，也就是${\displaystyle {\frac {1}{N_{k}}}}$ 。随着${\displaystyle N_{k}}$ 越来越大，${\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}$ 与${\displaystyle C}$ 的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数${\displaystyle A^{\sigma }}$ 最终会收敛于${\displaystyle C}$ 。^[3]:111-113

对一般的条件收敛级数，也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正项构成的级数发散到正无穷大，所有负项构成的级数发散到负无穷大，所以每次超出（低于）目标值${\displaystyle C}$ 以后，只要不停地累加，必然能够再次低于（超出）目标值${\displaystyle C}$ ；其次，调和级数是由${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ 相加而成，而随着${\displaystyle n}$ 趋向无穷，${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ 趋向于0，也就是说“步长”趋向0，所以最终能够收敛。所以只需要证明，任何条件收敛级数都满足这两个性质：

1. 所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的；
2. 级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.

就能证明黎曼级数定理成立了。

证明了性质一与性质二后，就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数${\displaystyle C}$ ，不妨假设${\displaystyle C\geqslant 0}$ . 首先将${\displaystyle A^{+}}$ 的项按顺序累加，直到部分和超过${\displaystyle C}$ 为止，然后再将${\displaystyle A^{-}}$ 的项按顺序累加在其后，直到部分和小于${\displaystyle C}$ 为止，接着再将${\displaystyle A^{+}}$ 剩余的项按顺序累加在其后，直到部分和超过${\displaystyle C}$ 为止……这个算法可以一直进行下去，因为根据性质一，${\displaystyle A^{+}}$ 和${\displaystyle A^{-}}$ 都是发散的。而在执行算法的过程中，部分和与${\displaystyle C}$ 会越来越接近。因为无论是在部分和低于${\displaystyle C}$ ，逐项增加到超过${\displaystyle C}$ 的过程中，还是在部分和超过了${\displaystyle C}$ ，逐项减少到低于${\displaystyle C}$ 的过程中，部分和与${\displaystyle C}$ 的差距（绝对值）都不超过前一次“跨越”${\displaystyle C}$ 值的那一刻，部分和与${\displaystyle C}$ 的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越”${\displaystyle C}$ 值时的“步长”。假设第${\displaystyle k}$ 次“跨越”的是在累加第${\displaystyle N_{k}}$ 项的时候发生的，那么直到第${\displaystyle k+1}$ 次“跨越”时，部分和与${\displaystyle C}$ 的差距都小于等于${\displaystyle a_{N_{k}}}$ 。随着${\displaystyle k}$ 趋于无穷大，${\displaystyle N_{k}}$ 也趋于无穷大，因而根据性质二，${\displaystyle a_{N_{k}}}$ 趋于0，也就是说部分和与${\displaystyle C}$ 的差距趋于0。这等价于说重排后的级数${\displaystyle A^{\sigma }}$ 收敛于${\displaystyle C}$ 。

如果${\displaystyle C<0}$ ，只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第${\displaystyle k}$ 次累加正项要超越的值从${\displaystyle C}$ 改为${\displaystyle C+k}$ ，然后累加负项直到低于${\displaystyle C+k}$ ，再开始第${\displaystyle k+1}$ 次累加正项直到超越${\displaystyle C+k+1}$ ，如此以往，就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1，将每次累加负项要低于的值设为0，那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动，从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。^{[2]:193-197[1]:154-156}

此定理可推广至斯坦尼兹定理（英语：Lévy–Steinitz theorem）。给定一个复数收敛级数∑ a_n，则重排后的级数∑ a_σ (n)之和有以下几种可能：

• 级数∑ a_n为绝对收敛，所以任何重排后的级数和都收敛到同一个值。
• 级数∑ a_n为条件收敛。令S为所有重排级数之和的集合，则S要不为整个复数平面C，要不为复数平面上C上的一条线L

${\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0}$ 

更一般的说，给定一个有限维度实向量空间E，考虑其向量组成的收敛级数，则重排级数之和的集合为E的仿射子空间。

• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem（页面存档备份，存于互联网档案馆）. 于2005年5月16日访问。