黎曼级数定理

黎曼级数定理(亦称黎曼重排定理),是一个有关于无穷级数性质的数学定理,得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明,如果一个实数无穷级数若是条件收敛的,它的项在重新排列后,重新排列后的级数收敛的值可以收敛到任何一个给定的值,甚至发散

许多有限项级数具有的性质,在一般的无穷级数不一定满足,例如一般的有限项级数可以重新排列各项,其级数和不会改变,但在无穷级数中,只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各项而不改变收敛值。

相关定义

给定无穷级数 ,其部分和为: 。如果部分和的数列

 

收敛于某个数值: ,则级数收敛。也就是说,如果对于任何的 ,总存在一个整数N,使得如果 ,则

 .

那么级数 收敛。如果级数 收敛,但级数 发散,则称此级数是条件收敛的。[1]:149

定理的陈述

假设 是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数 ,都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列 ,使得

 

此外,也存在另一种排列 ,使得

 

类似地,也可以有办法使它的部分和趋于 ,或没有任何极限。[2]:192

反之,如果级数是绝对收敛的,那么无论怎样重排,它仍然会收敛到同一个值,也就是级数的和。[2]:193

例子

交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子:

 

收敛,而

 

调和级数,它是发散的。虽然在标准的表示法中,交错调和级数收敛于ln(2),我们可以把它的项重新排列,使它收敛于任何一个数,甚至发散。例如,如果排列为以下的形式,

 
那么这时的和等于 

可以看出,它的和是原来的和的一半。[1]:153-154[3]:108-111

趋近任一个实数

 
将交错调和级数重排趋向1.5的步骤:从1开始,将正项按顺序相加,直到超过1.5(红点处),然后加入负项,直到低于1.5(绿点),再开始累加正项……

用不同的排列方法,可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上,由于调和级数 是发散的,它的部分和可以近似估计为:

 

其中 表示一个当N趋于无穷大时的无穷小 欧拉常数。如果将调和级数 中所有负项(也就是所有偶数项)相加,得到的级数会是:

 

它的部分和是:

 

因此所有正项相加的级数 的部分和是:

 

这也是一个发散级数,趋向正无穷。因此,对任意给定的正实数 ,可以使用以下的算法来构造出趋向 的重排级数 的每一项:

  1. 从第一项起,将 中的正项(奇数项)从前往后放入,一直放到超过 为止:必定存在一个自然数 ,使得 (假设 )。将第1至第 项定义为:
     
  2. 从第 项开始,将 中的负项(偶数项)从前往后放入,一直放到小于 为止:必定存在一个自然数 ,使得 。将第 至第 项定义为:
     

交替重复这两步来重排级数,可以将重排级数的部分和 保持在 上下,而因为 是重复第k步时首次“跨过” 时候的值,因而它与 的差距必定不超过“跨越”时的“步长”,也就是 。随着 越来越大,  的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数 最终会收敛于 [3]:111-113

证明

对一般的条件收敛级数,也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立,原因有二:首先,所有正项构成的级数发散到正无穷大,所有负项构成的级数发散到负无穷大,所以每次超出(低于)目标值 以后,只要不停地累加,必然能够再次低于(超出)目标值 ;其次,调和级数是由 相加而成,而随着 趋向无穷, 趋向于0,也就是说“步长”趋向0,所以最终能够收敛。所以只需要证明,任何条件收敛级数都满足这两个性质:

  1. 所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的;
  2. 级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.

就能证明黎曼级数定理成立了。

性质一

设有给定的条件收敛级数 ,级数和为 。为了简便起见,假设 中每一项都不等于0(否则可以随意将它们重排在任何地方)。 中的正项和负项必定都有无穷多个。将 中所有大于0的项按照它们原来在 中的顺序重新标号排列,可以得到由所有正项排列而成的级数 。同样可以建立由所有负项排列而成的级数 

 是一个正项级数,所以它要么收敛到某个定值,要么发散到正无穷大。假设 收敛到某个定值 ,那么可以证明 也是收敛级数,级数和为 。因而可以证明,级数 也是收敛级数,这与 是条件收敛级数的设定矛盾。所以, 发散到正无穷大。同理可证, 发散到负无穷大。[1]:154-155

性质二

 是一个条件收敛的级数,级数和为 。这说明,级数 的部分和 趋向极限 。所以对任意 ,存在自然数 使得对任意 ,都有:

 

所以对任意 

 

这说明当 趋于无穷大时, 趋于0.

证明了性质一与性质二后,就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数 ,不妨假设 . 首先将 的项按顺序累加,直到部分和超过 为止,然后再将 的项按顺序累加在其后,直到部分和小于 为止,接着再将 剩余的项按顺序累加在其后,直到部分和超过 为止……这个算法可以一直进行下去,因为根据性质一,  都是发散的。而在执行算法的过程中,部分和与 会越来越接近。因为无论是在部分和低于 ,逐项增加到超过 的过程中,还是在部分和超过了 ,逐项减少到低于 的过程中,部分和与 的差距(绝对值)都不超过前一次“跨越” 值的那一刻,部分和与 的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越” 值时的“步长”。假设第 次“跨越”的是在累加第 项的时候发生的,那么直到第 次“跨越”时,部分和与 的差距都小于等于 。随着 趋于无穷大, 也趋于无穷大,因而根据性质二, 趋于0,也就是说部分和与 的差距趋于0。这等价于说重排后的级数 收敛于 

如果 ,只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第 次累加正项要超越的值从 改为 ,然后累加负项直到低于 ,再开始第 次累加正项直到超越 ,如此以往,就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1,将每次累加负项要低于的值设为0,那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动,从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。[2]:193-197[1]:154-156

推广

此定理可推广至斯坦尼兹定理英语Lévy–Steinitz theorem。给定一个复数收敛级数∑ an,则重排后的级数∑ aσ (n)之和有以下几种可能:

  • 级数∑ an为绝对收敛,所以任何重排后的级数和都收敛到同一个值。
  • 级数∑ an为条件收敛。令S为所有重排级数之和的集合,则S要不为整个复数平面C,要不为复数平面上C上的一条线L
 

更一般的说,给定一个有限维度实向量空间E,考虑其向量组成的收敛级数,则重排级数之和的集合为E仿射子空间

参考来源

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927. 
  3. ^ 3.0 3.1 D. A. Brannan. A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press. 2006. ISBN 9781139458955.