圆极限III

圆极限III（英语：Circle Limit III）[1]是M. C. 埃舍尔（M. C. Escher，又译艾雪）在1959年完成的木刻版画，该作品被描述为“鱼串就像从无限远射出来的火箭[注 1]”然后“再次降落回他们的出发地[注 2]”[2]。

《圆极限III》, Circle Limit III, 1959

它是一系列埃舍尔所描绘的四个双曲几何木刻之一。荷兰数学物理学家布鲁诺·恩斯特称它是“最好的四个”[3]。

灵感

 
(6,4,2)三角群双曲镶嵌给了艾雪灵感

艾雪在1936年访问了在西班牙格拉纳达与阿罕布拉之后，就对平面镶嵌有了极大的兴趣[4][5]并从他1937年的作品《变形I》开始，人类和动物镶嵌图就成为他作品的材料之一[5]。直到1958年艾雪寄了一封信给H. S. M.考克斯特，艾雪写道他的灵感来自于考克斯特的文章《晶体对称性及其应用》（Crystal Symmetry and its Generalizations），他开始了一系列圆极限作品的创作[3][4]。考克斯特的图描绘了由30°-45°-90°直角三角形[注 3]（罗氏三角形）完成的双曲平面镶嵌，该镶嵌可被解释为描绘镜射和镜射准线的基本域[6]。创作了圆极限III的隔年，艾雪又以(6,4,2)三角群的八角化六阶正方形镶嵌再创作了圆极限IV——天堂和地狱，为圆极限系列的最后一件作品。

几何学

 
交错八边形镶嵌, 是一种双曲镶嵌由正方形与正三角形组成，位于艾雪的圆极限III作品上

艾雪似乎相信他的木刻中的白色曲线，他们平分了每一条在双曲平面中的双曲直线的鱼，整个双曲平面被以庞加莱圆盘模型的形式建构在欧几里得平面上，庞加莱圆盘模型使每条双曲直线垂直于圆盘的边界。事实上，艾雪写道，鱼是垂于于边界移动的[注 4][2]。然而，由于考克斯特证明并没有面为交替的正方形和正三角形的直线之双曲结构，如图所示。相反，白色曲线是满足角度cos−1((21/4 − 2−1/4)/2)大约80度的边界圆的超圆形[3]。位于白线中间的红色三角形和正方形才是真正的双曲面对称轴线。木刻的正方形和三角形与双曲平面镶嵌的交错八边形镶嵌拥有相同的规律，但他们的几何形状是不一样的：在交错八边形镶嵌中，正方形和三角形的边是双曲线段，而在艾雪的版画，是超圆形的弧线，让艾雪的平滑曲线只能在交错八边形镶嵌的角落与多边形链对应。正中心正方形中，有四条鱼的鱼鳍交会在正方形的中心形成了八阶三角形镶嵌的顶点[注 5]，同时有另一个点，由三条鱼的鱼鳍交会的公共顶点，也是由三条白线的交点，该点构成的它的对偶——正八边形镶嵌[3]。类似的由鱼构成直线的镶嵌可以由三角形或正方形以外的多边形构成的其他双曲镶嵌构造，或以三条以上的白色曲线构造于每个交叉处[7]。

包含在木刻的三个最突出的白色曲线之圆形的欧几里得坐标可以借由计算2的平方根与3的平方根的有理数逼近来获得[8]。

对称性

忽略鱼的颜色，这种模式在双曲平面中，三角形和正方形的中心分别有三倍和四倍的旋转对称性，在白色曲线的交点则有三阶二面体对称（正三角形的对称性）。在约翰·康威的轨形符号这组对称以433表示。每条鱼为这个对称群提供了基本域。相反的，鱼的两侧并不对称，因为图形的白色曲线不是反射对称轴[9][10]。

细节

在圆极限III中，鱼被以四种颜色绘制，使每串鱼的每一条鱼拥有同一种颜色并且让每个相邻但不同串的鱼拥有不同的颜色。连同用来勾勒出鱼的黑色墨水，整体木刻有五种颜色。它是利用5块木块制作，每块提供了四分之一圆盘内的颜色，总计展示了20次，整个作品圆形的直径是41.5公分[11]。

参见

注释

  1. ^ strings of fish shoot up like rockets from infinitely far away
  2. ^ fall back again whence they came
  3. ^ 30°-45°-90°直角三角形是一种双曲几何图形，并非平面几何的图形，其为一种施瓦茨三角形
  4. ^ the fish move "perpendicularly to the boundary"
  5. ^ 该顶点与八阶三角形镶嵌的顶点的顶点同构，即阶为八个不重叠正三角形的公共顶点

参考文献

  1. ^ 1994 M. C. Escher《Circle Limit III》, 1959, CAordon Art-Baarn-Holland
  2. ^ 2.0 2.1 Escher, as quoted by Coxeter (1979).
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Coxeter, H. S. M., The non-Euclidean symmetry of Escher's picture 'Circle Limit III', Leonardo, 1979, 12: 19–25, JSTOR 1574078 .
  4. ^ 4.0 4.1 Emmer, Michele, Escher, Coxeter and symmetry, International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, 2006, 3 (5-6): 869–879, MR 2264394, doi:10.1142/S0219887806001594 .
  5. ^ 5.0 5.1 Schattschneider, Doris, The mathematical side of M. C. Escher (PDF), Notices of the AMS, 2010, 57 (6): 706–718 [2014-06-17], （原始内容存档 (PDF)于2015-02-23） .
  6. ^ An elementary analysis of Coxeter's figure, as Escher might have understood it, is given by Casselman, Bill, How did Escher do it?, AMS Feature Column, June 2010 [2014-06-17], （原始内容存档于2014-07-14） . Coxeter expanded on the mathematics of triangle group tessellations, including this one in Coxeter, H. S. M., The trigonometry of hyperbolic tessellations, Canadian Mathematical Bulletin, 1997, 40 (2): 158–168, MR 1451269, doi:10.4153/CMB-1997-019-0 .
  7. ^ Dunham, Douglas, More “Circle Limit III” patterns, The Bridges Conference: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, London, 2006 (PDF), [2014-06-18], （原始内容存档 (PDF)于2014-07-14） .
  8. ^ Coxeter, H. S. M., The trigonometry of Escher’s woodcut Circle Limit III, M.C.Escher’s Legacy: A Centennial Celebration, Springer: 297–304, 2003, doi:10.1007/3-540-28849-X_29 .
  9. ^ Conway, J. H., The orbifold notation for surface groups, Groups, Combinatorics & Geometry (Durham, 1990), London Math. Soc. Lecture Note Ser. 165, Cambridge: Cambridge Univ. Press: 438–447, 1992, MR 1200280, doi:10.1017/CBO9780511629259.038 . Conway wrote that "The work Circle Limit III is equally intriguing" (in comparison to Circle Limit IV, which has a different symmetry group), and uses is it as an example of this symmetry group.
  10. ^ Herford, Peter, The geometry of M. C. Escher's circle-Limit-Woodcuts, Zentralblatt fü Didaktik der Mathematik, 1999, 31 (5): 144–148, doi:10.1007/BF02659805 . Paper presented to the 8th International Conference on Geometry, Nahsholim (Israel), March 7–14, 1999.
  11. ^ Escher, M. C., M. C. Escher: The Graphic Work, Taschen: 10, 2001 [2014-06-19], （原始内容存档于2014-07-15） .

外部链接