拉萨尔不变集原理

考虑以下方程式的系统

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)}$ 

其中${\displaystyle \mathbf {x} }$ 为符合以下条件的变数向量

${\displaystyle f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .}$ 

若可以找到${\displaystyle C^{1}}$  函数 ${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$ ，使下式成立

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$ 针对所有${\displaystyle \mathbf {x} }$ （半负定）

则任何轨迹中聚点（accumulation point）的集合都在${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 内， ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 是其完整轨迹完全在${\displaystyle \{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}}$ 集合的联集。

若${\displaystyle V}$ 函数又有正定的性质，即

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$ ，针对所有的${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$ 

${\displaystyle V(\mathbf {0} )=0}$ 

而且${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 除了${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} }$  for ${\displaystyle t\geq 0}$ 的平凡轨迹外，未包括其他轨迹，则原点为李雅普诺夫稳定性。

再者，若${\displaystyle V}$ 是径向无界（radially unbounded）

当${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty }$ 时，${\displaystyle V(\mathbf {x} )\to \infty }$ 

原点为全域渐近稳定。

若

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$ ，当${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$ 时

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$ 

当${\displaystyle \mathbf {x} }$ 在原点的邻域${\displaystyle D}$ 内才成立，且集合

${\displaystyle \{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\bigcap D}$ 

除了${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0}$ 的轨迹外，不包括其他系统的轨迹，则依照拉萨尔不变集原理的局部稳定版本，原点有局部的渐近稳定性。

If ${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$ 为负定，则原点的全域渐进稳定是李雅普诺夫第二定理的结果。若${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$ 只是半负定，不变集原理也是判断渐近稳定性的准则。

此段落会用不变集原理来确立简单系统的区部渐近稳定性。此系统的微分方程如下^[1]：

${\displaystyle ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}}$ 

其中${\displaystyle \theta }$ 是单摆的角度，以垂直往下的角度为0度，${\displaystyle m}$ 是单摆的质量，${\displaystyle k}$ 是摩擦系数，g是因重力产生的加速度。

因此可以将系统方程式表示如下

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=x_{2}}$ 

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}}$ 

利用不变集原理，可以证明一定大小的球体，若初始位置在原点附近${\displaystyle x_{1}=x_{2}=0}$ ，可以证明其所有的轨迹都会渐近收敛到原点。定义${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ 为

${\displaystyle V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}}$ 

${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ 即为系统的能量^[2]。${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ 在原点附近，半径${\displaystyle \pi }$ 的开球体内为正定。计算其导数

${\displaystyle {\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}}$ 

可观察到${\displaystyle V(0)={\dot {V}}(0)=0}$ 。若${\displaystyle {\dot {V}}<0}$ 成立，可以依李雅普诺夫第二定理得到所有轨迹都会到达原点的结论。不过很可惜，${\displaystyle {\dot {V}}\leq 0}$ 及${\displaystyle {\dot {V}}}$ 只是半负定。不过，以下集合

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}}$ 

也就是

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}}$ 

除了平凡轨迹x = 0外，不包括系统内的任何轨迹。若在特定时间 ${\displaystyle t}$ , ${\displaystyle x_{2}(t)=0}$ ，则因为${\displaystyle x_{1}}$ 必需小于${\displaystyle \pi }$ ，则${\displaystyle \sin x_{1}\neq 0}$ 且${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)\neq 0}$ 。因此，轨迹不会停留在集合${\displaystyle S}$ 内。

不变集原理的所有条件都满足，也可以下结论说：所有在原点附近的轨距，当${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ 时，最后都会收敛到原点^[3]。

此结果是由约瑟夫·皮尔·拉萨尔（英语：J.P. LaSalle）（在RIAS（英语：Research Institute for Advanced Studies））及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基（英语：Nikolai Nikolaevich Krasovsky）两人独立发现，两人分别在1960年及1969年发表。约瑟夫·皮尔·拉萨尔在1960年发表此论文，是西方第一位发表此定理的人，而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而1959年时由克拉索夫斯基发表了一般性的定理^[4]。

• 稳定性理论
• 李雅普诺夫稳定性

• LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
• Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 （俄语）. 
• Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

• LaSalle, J.P.; Lefschetz, S. Stability by Liapunov's direct method. Academic Press. 1961. 
• Haddad, W.M.; Chellaboina, VS. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008 [2019-04-30]. ISBN 9780691133294. （原始内容存档于2019-04-30）. 
• Teschl, G. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2012 [2019-04-30]. ISBN 978-0-8218-8328-0. （原始内容存档于2012-06-26）. 
• Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2. New York City: Springer Verlag. 2003. ISBN 0-387-00177-8. 

• 德克萨斯州农工大学不变集原理的讲义（PDF）
• 北卡罗来纳州立大学拉萨尔不变集原理的讲义（PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆））
• 加利福尼亚理工学院拉萨尔不变集原理的讲义（PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆））
• 麻省理工学院拉萨尔稳定性分析及不变集原理的开放讲程讲义（PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆））
• 普渡大学稳定性理论及拉萨尔不变集原理的讲义（PDF^{[永久失效链接]}）