皮克定理

因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形 ${\displaystyle P}$  ，及跟 ${\displaystyle P}$  有一条共同边的三角形 ${\displaystyle T}$  。若 ${\displaystyle P}$  符合皮克公式，则只要证明 ${\displaystyle P}$  加上 ${\displaystyle T}$  的 ${\displaystyle PT}$  亦符合皮克公式（I），与及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

多边形

设 ${\displaystyle P}$  和 ${\displaystyle T}$  的共同边上有 ${\displaystyle c}$  个格点。

• ${\displaystyle P}$  的面积： ${\displaystyle i_{P}+{\frac {b_{P}}{2}}-1}$ 
• ${\displaystyle T}$  的面积： ${\displaystyle i_{T}+{\frac {b_{T}}{2}}-1}$ 
• ${\displaystyle PT}$  的面积：

${\displaystyle (i_{T}+i_{P}+c-2)+{\frac {b_{T}-c+b_{P}-c+2}{2}}-1}$ 

${\displaystyle =i_{PT}+{\frac {b_{PT}}{2}}-1}$ 

三角形

证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：

1. 所有平行于轴线的矩形；
2. 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；
3. 所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。

矩形

设矩形 ${\displaystyle R}$  长边短边各有${\displaystyle m}$ ,${\displaystyle n}$ 个格点：

• ${\displaystyle A_{R}=(m-1)(n-1)}$ 
• ${\displaystyle i_{R}=(m-2)(n-2)}$ 
• ${\displaystyle b_{R}=2(m+n)-4}$ 

${\displaystyle i_{R}+{\frac {b_{R}}{2}}-1}$ 

${\displaystyle =(m-2)(n-2)+(m+n)-2-1}$ 

${\displaystyle =mn-(m+n)+1}$ 

${\displaystyle =(m-1)(n-1)}$ 

直角三角形

易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等，且 ${\displaystyle i}$  , ${\displaystyle b}$  相等。设其斜边上有 ${\displaystyle c}$  个格点。

• ${\displaystyle b=m+n+c-3}$ 
• ${\displaystyle i={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}}$ 

${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$ 

${\displaystyle ={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}+{\frac {m+n+c-3}{2}}-1}$ 

${\displaystyle ={\frac {(m-2)(n-2)}{2}}+{\frac {m+n-3}{2}}}$ 

${\displaystyle ={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}}$ 

一般三角形

逆运用前面对2个多边形的证明：

既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，则 ${\displaystyle P}$  加上 ${\displaystyle T}$  的 ${\displaystyle PT}$  亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。

于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。

• 取格点的组成图形的面积为一单位。在平行四边形格点，皮克定理依然成立。套用于任意三角形格点，皮克定理则是${\displaystyle A=2*i+b-2}$ 。
• 对于非简单的多边形${\displaystyle P}$ ，皮克定理${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-\chi (P)}$ ，其中 ${\displaystyle \chi (P)}$  表示 ${\displaystyle P}$  的欧拉示性数。
• 高维推广：Ehrhart多项式；一维：植树问题。
• 皮克定理和欧拉公式（${\displaystyle V-E+F=2}$ ）等价。

Georg Alexander Pick，1859年生于维也纳，1943年死于特莱西恩施塔特集中营。

• 《格点和面积》 闵嗣鹤著

• 以皮克定理证明欧拉公式 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英）
• 谈求面积的 Pick 公式，蔡聪明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml （页面存档备份，存于互联网档案馆）