帕普斯面积定理

帕普斯面积定理(英语:Pappus's area theorem)描述为连接任意三角形三边形成三个平行四边形区域之间的关系。该定理也可以被认为是毕氏定理的推广,以发现者希腊数学家帕普斯命名。

暗灰色面积等于浅灰色面积

定理

给定任意三角形,其两个任意平行四边形连接到其任意两侧,该定理描述在第三侧产生平行四边形,使得第三个平行四边形的面积等于其他两个平行四边形的面积之和。

 为任意三角形,ABDEACFG是连接到三角形边AB与AC的两个任意平行四边形。延长的平行四边形边DE与FG在H点处相交。线段AH现在“变成”连接到三角形边BC的第三平行四边形BCLM的边,即在BC上产生线段BL与CM,使得BL与CM互相平行并且其长度等于AH。以下 表示为平行四边形的面积:

 

该定理从两方面推广了毕氏定理。首先它适用于任意三角形,而不仅适用于直角三角形,其次它使用平行四边形而非正方形。对于任意三角形两侧的正方形,在第三侧产生相等面积的平行四边形,如果两侧为平行四边形直角的直角边,则第三侧(斜边)的平行四边形也是正方形。对于直角三角形,连接到直角腿的两个平行四边形在第三侧产生相等面积的矩形,并且如果两个平行四边形是正方形,那么第三侧上的矩形也将是正方形。

证明

由于具有相同的基本长度与高度,平行四边形ABDEABUH具有相同的面积,相同的参数适用于平行四边形ACFGACVHABUHBLQRACVHRCMQ。 这已经产生了预期的结果,如下:

 

参考资料

外部链接