有限差分法

数学中,有限差分法finite-difference methods,简称FDM),是一种微分方程数值方法,是通过有限差分近似导数,从而寻求微分方程的近似解。

由泰勒展开式的推导

首先假设要近似函数的各级导数都有良好的性质,依照泰勒定理,可以形成以下的泰勒展开式

 

其中n!表示是n阶乘Rn(x)为余数,表示泰勒多项式和原函数之间的差。可以推导函数f一阶导数的近似值:

 

设定x0=a,可得:

 

除以h可得:

 

求解f'(a):

 

假设 相当小,因此可以将"f"的一阶导数近似为:

 

准确度及误差

近似解的误差定义为近似解及解析解之间的差值。有限差分法的两个误差来源分别是舍入误差截尾误差英语truncation error(或称为离散化误差),前者是因为电脑计算小数时四舍五入造成的误差,后者则是用有限阶级数表示导数引起的误差。

 
有限差分法是以在格点上函数的值为准

在运用有限差分法求解一问题(或是说找到问题的近似解)时,第一步需要将问题的定义域离散化。一般会将问题的定义域用均匀的网格分割(可参考右图)。因此有限差分法会制造一组导数的离散数值近似值。

一般会关注近似解的局部截尾误差英语local truncation error,会用大O符号表示,局部截尾误差是指应用有限差分法一次后产生的误差,因此为 ,此时 是实际值,而 为近似值。泰勒多项式的余数项有助于分析局部截尾误差。利用 泰勒多项式的余数项,也就是

 , 其中 ,

可以找到局部截尾误差的主控项,例如用前项差分法计算一阶导数,已知 ,

 

利用一些代数的处理,可得

 

注意到左边的量是有限差分法的近似,右边的量是待求解的量再加上一个余数,因此余数就是局部截尾误差。上述范例可以用下式表示:

 

在此例中,局部截尾误差和时间格点的大小成正比。

范例:常微分方程

例如考虑以下的常微分方程

 

利用数值方法中欧拉法求解,利用以下的有限差分式

 

来近似导数,并配合一些代数处理(等号两侧同乘以h,再加上u(x)),可得

 

最后的方程式即为有限差分方程,求解此方程则可得到原方程的近似解。

范例:热传导方程

考虑正规化的一维热传导方程式,为齐次的狄利克雷边界条件

 
 (边界条件)
 (初始条件)

对此问题求数值解的一种方式是用差分去近似所有的导数,可以将空间分割为 ,将时间也分割为 。假设在时间及空间都是均匀的网格切割,空间中两个连续位置的间隔为h,两个连续时间之间的间隔为k。点

 

表示 的数值近似解。

显式方法

 
热传导方程最常用显式方法的模版英语Stencil (numerical analysis)

利用在时间 的前向差分,以及在位置 的二阶中央差分(FTCS 格式英语FTCS scheme),可以得到以下的迭代方程:

 

这是用求解一维导热传导方程的显式方法

可以用以下的式子求解 

 

其中 

因此配合此迭代关系式,已知在时间n的数值,可以求得在时间n+1的数值。  的数值可以用边界条件代入,在此例中为0。

此显式方法在 时,为数值稳定收敛[1]。其数值误差和时间间隔成正比,和位置间隔的平方成正比:

 

隐式方法

 
隐式方法的模版

若使用时间 的后向差分,及位置 的二阶中央差分(BTCS 格式),可以得到以下的迭代方程:

 

这是用求解一维导热传导方程的隐式方法

在求解线性联立方程后可以得到 

 

此方法不论 的大小,都数值稳定且收敛,但在计算量会较显式方法要大,因为每前进一个时间间隔,就需要求解一个联立的数值方程组。其数值误差和时间间隔成正比,和位置间隔的平方成正比:

 

克兰克-尼科尔森方法

若使用时间 的中间差分,及位置 的二阶中央差分(CTCS 格式),可以得到以下的迭代方程:

 

此公式为克兰克-尼科尔森方法(Crank–Nicolson method)。

 
克兰克-尼科尔森方法的模版

在求解线性联立方程后可以得到 

 

此方法不论 的大小,都数值稳定且收敛,但在计算量会较显式方法要大,因为每前进一个时间间隔,就需要求解一个联立的数值方程组。其数值误差和时间间隔的平方成正比,和位置间隔的平方成正比:

 

若时间刻度较小时,克兰克-尼科尔森方法是最精确的,而显式方法是最不精确的,而且可能会不稳定,但是是最容易计算的,其数值计算量也最少。若时间刻度较大时,隐式方法的效果最好。

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参考资料

  1. ^ Crank, J. The Mathematics of Diffusion. 2nd Edition, Oxford, 1975, p. 143.
  • K.W. Morton and D.F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction. Cambridge University Press, 2005.
  • Oliver Rübenkönig, The Finite Difference Method (FDM) - An introduction, (2006) Albert Ludwigs University of Freiburg
  • Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications, (2008) [1]页面存档备份,存于互联网档案馆

外部链接