有限体积法

有限体积法( 英文:finite volume method )是一种以数值方法偏微分方程的计算方式[1]。 在有限体积法中,将要描述的物理实体切分为网格单元来描述,并使用发散定理,将所有包含发散项的偏微分方程中的体积积分转换为表面积分。然后将每个网格的项加总,便成为每个有限体积表面的通量。因为进入给定体积的通量与离开相邻体积的通量相同,所以这些方法是守恒的。该方法用于许多计算流体动力学软件。

有限体积法常被拿来与有限元素分析做比较,后者使用节点值来近似导数,或者使用有限元方法来使用局部数值来逼近解的局部近似值,并通过将它们加总在一起来形成全域近似值。另一方面,有限体积法会计算某个体积中的网格解之平均,然后使用此平均值来决定单元内解的近似值[2][3]

举例

一维平流问题:

 

 在这里代表状态变量,  代表的通量流量  。习惯上, 正值代表向右流动,而 负值代表向左流动。如果假设式(1)表示恒定面积的流动介质,则可以空间域   ,细分为数个网格单元以每个网格单元所占的有限体积以 作为标记 。对于特定的单元  ,我们可以定义该体积某物理量( 压力、温度等 )之通量流量平均值 在时间   ,如式(2)

 

而在时间 时式(2)可写为:

 

此处  分别代表上游和下游面或网格单元的交界面位置 

将式(1)积分,可得:

 

 

为了得到在时间  的有限体积平均值 ,在此积分位于整个有限体积的所有网格的流量 ,并 并将计算结果除以  ,即可得:

 

我们可以逆向积分的顺序。同样,请记住,流量垂直于单元的表面。现在,因为一维  ,我们可以应用散度定理,即  ,并用的值代替散度的体积积分 在网格单元表面计算(某单元与其他单元之前后交界面   )的有限体积如下:

 

 

因此,对于上述问题,我们可以得出一个半离散的数值格式,其单元中心的索引为  ,且单元交界面通量的索引为  ,通过对时间对式(6)进行微分,可得:

 

通过某单元交界面通量的值 可以通过对单元平均值进行内插外推来获得。式(7)对于该有限体积的平均值是精确的,因为在推导过程中未进行任何近似。

该方法也可以应用于2D形况,只要同时考虑单元四周交界面,北面、南面、东面和西面即可。

一般守恒法则

我们还可以考虑以下PDE代表的一般守恒定律问题,

 

此处  代表状态向量 代表相应的通量张量。同样,我们可以将空间域细分为有限体积的网格单元。对于特定的网格单元  ,将体积积分乘以单元的总体积   , 如式(9)。

 

将第一项积分可得体积平均值然后将散度定理应用于第二项,可得:

 

此处 代表单元的总表面积,  是垂直于表面并指向外的单位向量。最后,可得一般结果如式(11)。

 

同样的,可以通过对单元平均值进行内插或外推来重建交界面通量的值。实际的数值将取决于问题的几何形状和軮格结构。

有限体积方案是守恒的,因为单元平均会通过交界面通量而变化。换句话说,某个单元所损失的物理量,必定会通过交界面而被另一单元所获得!

相关文献

  • Eymard, R. Gallouët, T. R., Herbin, R.英语Raphaèle Herbin (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
  • Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
  • Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
  • LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
  • LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
  • Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
  • Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
  • Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
  • Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

参考资料

  1. ^ LeVeque, Randall. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. 2002 [2020-12-23]. ISBN 9780511791253. (原始内容存档于2020-10-23). 
  2. ^ Fallah, N. A.; Bailey, C.; Cross, M.; Taylor, G. A. Comparison of finite element and finite volume methods application in geometrically nonlinear stress analysis. Applied Mathematical Modelling. 2000-06-01, 24 (7): 439–455. ISSN 0307-904X. doi:10.1016/S0307-904X(99)00047-5 (英语). 
  3. ^ Ranganayakulu, C. (Chennu). Chapter 3, Section 3.1. Compact heat exchangers : analysis, design and optimization using FEM and CFD approach. Seetharamu, K. N. Hoboken, NJ. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC 1006524487. 

外部链接