速率

速率(英语:Speed)是物理学中的一个基本概念,是指物体在单位时间内经过的路程,用来表示物体运动的快慢程度。

速率
Mersan.JPG
汽车行驶一段路程除以所需时间为它的平均速率。
常见符号
v
国际单位m/s, m s−1
因次

在日常生活中,“速率”和“速度”混用,但两者在物理学中对应着不同的概念:速率是一个标量(只有大小、没有方向),它的量纲是路程除以时间;速度是一个向量(有方向),它的量纲是位移除以时间[1]。物体的瞬时速率等于瞬时速度的大小,而平均速率则不一定等于平均速度的大小。

国际单位制中,速率的单位为米每秒(m/s),但日常生活中较常用的单位是千米每小时(km/h)或是英制系统下的英里每小时(mph)。海上船只或物体的行进速率,一般会使用作为单位。

依照狭义相对论,能量或信息所能传递的最快速率为真空中的光速c = 299,792,458 米每秒,大约是1,080,000,000千米每小时或671,000,000英里每小时。静止质量不为零的物质要加速到此速率,需要无限大的能量。在相对论物理学中,会用快度来取代经典力学中的速度[2]

定义

用数学语言来描述,如果一个物体在一段时间 内移动的路程为 ,那么它的平均速率(用 表示)便是  的比,具体可由下式给出:

 

例如,一辆汽车在2小时内行驶了60千米,它在这段时间内的平均速率是30千米每小时。而一个物体在某个时刻的速率,则是它在这个时刻前后的一段极短时间中经过的路程 与这段时间长度 的比:

 

精确地说,假设路程 是一个关于时间 的函数,那么物体在某个时刻 瞬时速率,是以上比值在 趋向于0时的极限值。或者说,是  时刻对时间的导数

 

在某些简化的物理模型中,物体在某个时刻之前的速率 可能不等于其之后的速率  

 

比如简单的碰撞模型中的碰撞前速率和碰撞后速率。但在经典物理学中,总假设物体的路程,以及瞬时速度和瞬时速率都是连续变化的。简化模型中出现不连续的速率是忽略了极短时间内速率变化的结果。

物体的瞬时速率等于其瞬时速度的大小。然而,物体的平均速率一般不等于其平均速度的大小[3]。盖因路程和位移的概念不同。例如一个物体做匀速圆周运动一周,则其平均速率为一个不为零的定值,但其平均速度是0。

例子

瞬时速率

车辆上的速度表可以显示任何时刻的瞬时速率[4]p.42。瞬时速率可能会随时间而变动,一辆车在某个时刻的瞬时速率50千米/小时,但它维持此速率的时间可以是一秒、一分钟或一小时。不过假若此车连续一小时以50千米/小时的(瞬时)速率行驶,则它所走路程为50千米。

平均速率

如果一辆车在一小时内行驶了80千米,则它在这一个小时中的平均速率为80千米/小时;若一辆车在第一个小时内行驶了140千米,在接下来的三个小时中行驶了180千米,则它在这四小时内的平均速率也是80千米/小时。但若分别考虑此车第一个小时以及其后三个小时内的平均速率,其数值就不是80千米/小时了。

平均速率可能会和过程中的瞬时速率有相当的差异[4]p.42。若已知平均速率和时间,可以求得这段时间所走的路程:

 

依上述公式可得,若一辆车行驶了四小时,这四小时的平均速率为80千米/小时,则它在四个小时中行驶的总路程为320千米。

若以图像的方式,可以利用路程-时间图来显示速率。路程-时间图上的曲线表示了物体移动的路程是如何随时间变化的。曲线上任意一点对应着一个时刻和物体在这一时刻移动的路程。曲线在一点上切线斜率即为此时刻的瞬时速率,而曲线上两点的割线斜率即为对应的二个时刻之间的平均速率。

切线速率

物体在单位时间内经历的路程,是为速率或线速率,而如果物体在做圆周运动,那么它的速率也称为切线速率[4]p.131,因为它运动的方向是沿着圆周的切线方向。旋转木马转一圈时,位置靠外的木马走过的路程比位置靠内的木马要多。这说明位置靠外的木马平均速率比位置靠内的木马要大。 对于圆周运动的物体而言,切线速率及线速率二者可互换使用,二者的单位均为m/s或km/h。

转速或角速率是指单位时间内转的圈数。旋转木马中,不同位置的木马切线速率可能不同,但所有木马在相同时间内都旋转了相同的圈数,因此其角速率均相同。转速一般以每分钟转速或是以单位时间的弧度作为单位。旋转一圈的弧度略大于6个弧度(精确值为 弧度)。若将角速率加上方向,则成为角速度,前者为一标量,后者则为一向量。若两片CD每秒都旋转20圈,一片顺时针旋转,另一片逆时针旋转,那么二者的角速率相同,但角速度不同。

圆周运动的物体(或距旋转轴固定距离的一点),其切线速率和转速成正比[4]p.131。不过切线速率和转速不同,一点的切线速率和距旋转轴的距离有关,距旋转轴不同距离的二点,其转速相等,但切线速率不相等。旋转轴上的点,其切线速率甚至为零。在一旋转的物体上,离旋转轴越远,会发现线速率越快。若转速固定,则切线速率和一点距旋转轴的距离成正比[4]p.132,因此可得下式:

 

其中

v为切线速率
ω为转速
r为距旋转轴的距离

因此只要转速变快或是距旋转轴的距离变长,都会使切线速度变快。

若切线速率、转速及距离选择适当的单位(例如切线速率单位选择m/s,转速单位选择弧度/s,距离单位选择m),上式的比例关系可以变成以下的等式:

 

因此,一个系统只要所有部分的角速度相同,其切线速度只和距旋转轴的距离有关。(上述切线速度和距离的比例关系不适用于行星的运转,因为行星在不同位置的角速度不同)

单位

速率的单位包括:

  • 米每秒(符号为m s-1或m/s),国际单位制导出单位
  • 千米每小时(符号为km/h)
  • 英里每小时(符号为m/h或mph)
  • (即“海里每小时”,符号kt)
  • 马赫, 由速率除以声速得到
  • 真空光速c=2.997 924 58·108m s-1, 是自然单位之一)

速率各单位间重要的换算关系包括:

常见速率单位之间的转换
m/s km/h mph ft/s
1 m/s = 1 3.6 2.236936 1.943844 3.280840
1 km/h = 0.277778 1 0.621371 0.539957 0.911344
1 mph = 0.44704 1.609344 1 0.868976 1.466667
1 节 = 0.514444 1.852 1.150779 1 1.687810
1 ft/s = 0.3048 1.09728 0.681818 0.592484 1

粗体字的数值是精确值)

不同速率的例子

速率 m/s ft/s km/h mph 注解
大陆飘移的平均速率 0.00000001 0.00000003 0.00000004 0.00000002 4厘米/年,速率依位置而异
普通蜗牛的速率 0.001 0.003 0.004 0.002 1毫米每秒
轻快地步行 1.7 5.5 6 4
奥林匹克短跑选手(100米内的平均速率) 10 32.8 36 22
大部分郊区道路的速限 13.8 45.3 50 30
台北101观光电梯 16.7 54.8 60.6 37.6 1,010 m/min[5]
香港巴士的最高运行速率 20 65.6 72 44.7
一般乡间道路的速限 24.6 80.66 88.5 56
萨菲尔-辛普森飓风等级的一级飓风 33 108 119 74 一分钟平均风速需大于此数值
法国高速公路限速 36.1 118 130[6] 81
人力驱动的最快速度 37.02 121.5 133.2 82.8 加拿大自行车手Sam Whittingham利用斜躺脚踏车英语recumbent bicycle创下的记录[7]
漆弹枪的枪口初速 90 295 320 200
波音747-8巡航速率 255 836 917 570 0.85马赫
陆上速度记录 341.1 1119.1 1227.98 763 超音速推进号在1997年10月15日创下[8]
在海平面大气压、20°C(293开尔文)的干燥空气中的声速 343 1,125 1,235 768 由定义=1马赫
AK-47突击步枪枪口初速 710 2,330 2,600 1600
正式的飞行速度记录 980 3,215 3,530 2,194 SR-71黑鸟式侦察机在1976年7月28日创下[9]
航天飞机返回地球时的速率 7,800 25,600 28,000 17,500
相对于地球的逃逸速度 11,200 36,700 40,000 25,000 地表的逃逸速度为11.2 km/s[10]
地球的平均公转速率 29,783 97,713 107,218 66,623
真空中的光速(符号c 299,792,458 983,571,056 1,079,252,848 670,616,629

参见

  • 速度
  • 空速
  • 对地速度
  • 车辆速度记录列表
  • 速度表
  • V速度

参考资料

  • 理查德·费曼, 罗伯·雷顿, 马修·山德士. 卷 I, 章节 8-2. 费曼物理学讲义. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts. 1963. ISBN 0-201-02116-1. 
  1. ^ 速度、速率及加速度. 台湾师范大学物理系. [2013-10-12]. (原始内容存档于2021-05-05). 
  2. ^ Rapidity and invariant cross sections - Phenix - Brookhaven National (PDF). [2013-10-12]. (原始内容 (PDF)存档于2021-04-04). 
  3. ^ 平均速度. 台湾长庚大学. 2005-07-28 [2013-10-12]. (原始内容存档于2013-10-15). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Paul G. Hewitt. Conceptual Physics. Pearson Addison Wesley. 2006. ISBN 0805393757.  已忽略文本“ suck my dick ” (帮助)
  5. ^ 中国电梯行业大事简记. 上海勒邦电梯. 2009-05-19 [2013-10-12]. (原始内容存档于2013-10-14). 
  6. ^ 法国开车初体验. 旭途旅游. [2013-10-12]. (原始内容存档于2021-04-04). 
  7. ^ The Recumbent Bicycle and Human Powered Vehicle Information Center. Wisil.recumbents.com. [2013-10-12]. (原始内容存档于2013-08-11). 
  8. ^ Thrust SSC Run database, [2013-10-12], (原始内容存档于2020-02-16) 
  9. ^ 大陆新闻中心. 軍武/「黑鳥」如影隨形 比子彈還快的飛機報你知. 明日报 (今日传媒公司). 2013-02-02 [2013-10-12]. (原始内容存档于2020-02-16). 
  10. ^ 宇宙航行. Rc.k12.com.cn. [2013-10-12]. (原始内容存档于2021-04-04). 

外部链接