雅可比猜想

雅可比猜想(Jacobian conjecture)是多变量多项式的一个著名问题,最初是由数学家凯勒(Ott-Heinrich Keller)于1939年提出,之后Shreeram Abhyankar取现名,并将之广为传播,以作为代数几何的问题中,只需稍多于微积分的知识就能阐述的一个例子。

雅可比猜想直至2017年仍未得到正确证明。

雅可比行列式

n>1为固定的整数,考虑多项式F1, ... , Fn,变量为X=(X1, ... , Xn),系数在特征为零的代数闭域k中。(可假设k为复数域 。)也就是说 。定义函数F: knkn

F(c1, ... , cn)=(F1(c1, ... , cn), ... , Fn(c1, ... , cn))

函数F雅可比行列式JF是由F的偏导数组成的n×n矩阵的行列式

 

JF也是变量为X的多项式函数。

叙述

多变量微积分反函数定理指出如在某一点有JF ≠ 0,那么在该点附近F有反函数。由于k是代数闭域,JF是多项式,因此JF必定在某些点上为0,除非JF是非零的常数函数。以下是一项基本结果:

F反函数G: knkn,则JF是非零的常数函数

而其反命题则为雅可比猜想:
 为一特征为零的代数闭。若

  1.  ,
  2. JF是非零常数函数,(等价于以下条件:对于所有的  皆是可逆线性变换

 反函数,且此反函数亦属于 

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