雅可比猜想

令n>1为固定的整数，考虑多项式F₁, ... , F_n，变量为X=(X₁, ... , X_n)，系数在特征为零的代数闭域k中。（可假设k为复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 。）也就是说${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in k[X]}$ 。定义函数F: kⁿ→kⁿ为

F(c₁, ... , c_n)=(F₁(c₁, ... , c_n), ... , F_n(c₁, ... , c_n))

函数F的雅可比行列式J_F是由F的偏导数组成的n×n矩阵的行列式

${\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{n}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{n}}{\partial X_{n}}}\end{matrix}}\right|,}$ 

J_F也是变量为X的多项式函数。

多变量微积分的反函数定理指出如在某一点有J_F ≠ 0，那么在该点附近F有反函数。由于k是代数闭域，J_F是多项式，因此J_F必定在某些点上为0，除非J_F是非零的常数函数。以下是一项基本结果：

若F有反函数G: kⁿ→kⁿ，则J_F是非零的常数函数。

而其反命题则为雅可比猜想：
令${\displaystyle k}$ 为一特征为零的代数闭域。若

1. ${\displaystyle F=(F_{1},\dots ,F_{n})\in k[X]\times k[X]\times \dots k[X]}$ ,
2. J_F是非零常数函数，（等价于以下条件：对于所有的${\displaystyle x\in k^{n}}$ ，${\displaystyle F'(x)}$ 皆是可逆的线性变换）

则${\displaystyle F}$ 有反函数，且此反函数亦属于${\displaystyle k[X]}$ 。

• （英文）莫宗坚简论雅可比猜想的网页 （页面存档备份，存于互联网档案馆）