倒数伽玛函数

数学中,倒数伽玛函数(英语:Reciprocal gamma function)是指伽玛函数倒数

Γ函数的倒数
Γ函数(蓝色)、Γ函数的倒数(橘色)
Γ函数的倒数的函数图形
倒数伽玛函数 1/Γ(z)色相环复变函数图形

其中,Γ(z)代表伽玛函数。由于伽玛函数在整个复平面上皆非零且为亚纯函数,因此其倒数是一个整函数

倒数伽玛函数是一个1阶整函数,其表示了log log |1/Γ(z)|的成长速度不会高过log |1/Γ(z)|。虽为1阶整函数但属无穷型,也就是说log |1/Γ(z)|的增长速度比任何|z|的倍数都快,因为它的增长与左手平面上的|z| log |z|大致成比例

由于倒数伽玛函数不像伽玛函数快速成长,在程式计算上较伽玛函数容易,例如其泰勒级数[1],因此部分软件使用倒数伽玛函数作为计算伽玛函数的起点,一些软件除了计算伽玛函数外,会额外提供倒数伽玛函数。

魏尔斯特拉斯将倒数伽玛函数称为“factorielle”表示阶乘的倒数,并用于魏尔施特拉斯分解定理的发展[2]

无穷乘积展开

根据莱昂哈德·欧拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯给出的伽玛函数无穷乘积定义,可以推得倒数伽玛函数即伽玛函数之倒数的无穷乘积:

 

其中 欧拉-马斯刻若尼常数。这个乘积展开式对所有复数z都有效。

泰勒级数

倒数伽玛函数从零展开的泰勒级数为:

 

其中γ是欧拉-马斯刻若尼常数。对n > 2的情形,其zn的系数an可由递推定义求出[3]

 

其中ζ(s)代表黎曼ζ函数。2014年,Fekih-Ahmed发现这些系数可以用积分表示[1]

 

其前几项的值为:

an的近似值为[1]

 

其中, 

 是分支为负一的朗伯W函数

渐近展开

|z|arg(z)为一固定值的情形下趋于无穷,则有:

 

以围线积分表示

倒数伽玛函数可使用围线积分英语contour integration(contour integration[4])表示,此表示法由赫尔曼·汉克尔所提出,其为:

 

其中,H汉克尔围线英语Hankel contour

阶乘倒数

阶乘倒数是指阶乘的倒数。其等于所有小于及等于该数的正整数之倒数的积:

 

其无穷级数收敛在e[5]

 

由于阶乘可以用伽玛函数来定义,因此阶乘倒数也可以表示为:

 .

对于 的正整数,其阶乘倒数可以用一个积分表示[6]

 .

同理,倒数伽玛函数也可以用类似的方法表示。对所有的实数  ,我们可以写出倒数伽玛函数沿着实轴的积分表示式[7]

 

其中在 的特定情况下,则可获得双阶乘的倒数与倒数伽玛函数之关系:

 

积分

将倒数伽玛函数在实轴上从零积到无穷的瑕积分为:

 OEIS数列A058655

这个值又称为弗朗桑-罗宾逊常数英语Fransén–Robinson_constant[8]

参见

  • 伽玛函数

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Fekih-Ahmed, L. (2014). On the Power Series Expansion of the Reciprocal Gamma Function页面存档备份,存于互联网档案馆pdf (PDF). [2018-12-22]. (原始内容存档 (PDF)于2018-12-22). . HAL archives,
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (编), Weierstrass theorem, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001 [1994], ISBN 978-1-55608-010-4 
  3. ^ Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and
    Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682.
  4. ^ 圍線積分 contour integration. [2018-12-28]. (原始内容存档于2019-06-10). 
  5. ^ Iwanami Sūgaku Jiten Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 (日语)  142.D
  6. ^ Graham, Knuth, and Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley. 1994: 566. 
  7. ^ Integral formula for  . Math Stack Exchange. [2018-11-18]. (原始内容存档于2019-06-06). 
  8. ^ Finch, S. R. "Fransén-Robinson Constant." §4.6 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 262-264, 2003.
  1. Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
  2. Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function页面存档备份,存于互联网档案馆
  3. Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
  4. Eric W. Weisstein, Gamma Function页面存档备份,存于互联网档案馆, MathWorld