倒数伽玛函数

根据莱昂哈德·欧拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯给出的伽玛函数无穷乘积定义，可以推得倒数伽玛函数即伽玛函数之倒数的无穷乘积：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}$ 

其中${\displaystyle \gamma \approx 0.577216...}$ 是欧拉-马斯刻若尼常数。这个乘积展开式对所有复数z都有效。

倒数伽玛函数从零展开的泰勒级数为：

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots }$ 

其中γ是欧拉-马斯刻若尼常数。对n > 2的情形，其zⁿ的系数a_n可由递推定义求出^[3]：

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{2}a_{n-1}-\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{n-j}}{n-1}}}$ 

其中ζ(s)代表黎曼ζ函数。2014年，Fekih-Ahmed发现这些系数可以用积分表示^[1]：

${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\Im [(\log(t)-i\pi )^{n}]dt.}$ 

其前几项的值为：

而a_n的近似值为^[1]：

${\displaystyle a_{n}\approx (-1)^{n}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sqrt {n}}{n!}}\Im \left(e^{-nz_{0}}{\frac {z_{0}^{1/2-n}}{\sqrt {1+z_{0}}}}\right),}$ 

其中，${\displaystyle z_{0}={\frac {e^{W_{-1}(-n)}}{-n}}}$ 

而${\displaystyle W_{-1}}$ 是分支为负一的朗伯W函数。

当|z|在arg(z)为一固定值的情形下趋于无穷，则有：

${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad \qquad {\text{for}}\quad |\arg(z)|<\pi }$ 

倒数伽玛函数可使用围线积分（英语：contour integration）（contour integration^[4]）表示，此表示法由赫尔曼·汉克尔所提出，其为：

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$ 

其中，H为汉克尔围线（英语：Hankel contour）。

阶乘倒数是指阶乘的倒数。其等于所有小于及等于该数的正整数之倒数的积：

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{n!}}\quad \forall n\geq 1}$ 

其无穷级数收敛在e^[5]：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=e}$ 

由于阶乘可以用伽玛函数来定义，因此阶乘倒数也可以表示为：

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{\Gamma (z+1)}}}$ .

对于${\displaystyle n\geq 1}$ 的正整数，其阶乘倒数可以用一个积分表示^[6] ：

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-n\imath \vartheta }e^{e^{\imath \vartheta }}\ d\vartheta }$ .

同理，倒数伽玛函数也可以用类似的方法表示。对所有的实数${\displaystyle c>0}$  且 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ，我们可以写出倒数伽玛函数沿着实轴的积分表示式^[7]：

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+\imath t)^{-z}e^{c+\imath t}dt,}$ 

其中在${\displaystyle z:=n+1/2}$ 的特定情况下，则可获得双阶乘的倒数与倒数伽玛函数之关系：

${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}}$ 

将倒数伽玛函数在实轴上从零积到无穷的瑕积分为：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}$ （OEIS数列A058655）

这个值又称为弗朗桑－罗宾逊常数（英语：Fransén–Robinson_constant）。^[8]

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