Β-二项式分布

Β-二项式分布的前三个矩分别是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\\[8pt]\mu _{2}&={\frac {n\alpha [n(1+\alpha )+\beta ]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )}}\\[8pt]\mu _{3}&={\frac {n\alpha [n^{2}(1+\alpha )(2+\alpha )+3n(1+\alpha )\beta +\beta (\beta -\alpha )]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )(2+\alpha +\beta )}}\end{aligned}}}$ 

而峰度则是：

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {(\alpha +\beta )^{2}(1+\alpha +\beta )}{n\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +n)}}\left[(\alpha +\beta )(\alpha +\beta -1+6n)+3\alpha \beta (n-2)+6n^{2}-{\frac {3\alpha \beta n(6-n)}{\alpha +\beta }}-{\frac {18\alpha \beta n^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right].}$ 

设 ${\displaystyle \pi ={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$  那么数学期望可以表示成

${\displaystyle \mu ={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}=n\pi \!}$ 

而方差则是：

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}=n\pi (1-\pi ){\frac {\alpha +\beta +n}{\alpha +\beta +1}}=n\pi (1-\pi )[1+(n-1)\rho ]\!}$ 

其中 ${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\alpha +\beta +1}}\!}$  是 n 个伯努利变量的关联系数，称为散布系数。

• 多变量波利亚分布

• Minka, Thomas P. (2003). Estimating a Dirichlet distribution （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Microsoft Technical Report.

• 使用Β-二项式分布来对生物识别设备的性能作出估计 （页面存档备份，存于互联网档案馆）