卡伦数

卡伦数是形式如 $n\times 2^{n}+1$ （写作 $C_{n}$ ）的自然数。

若质数 $p=8k-3=2n-1$ ， $C_{n}$ 能被 $p$ 整除。根据费马小定理，若p是奇质数， $p$ 能整除 $C_{m(k)}$ 对于 $m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k$ (对于 $k>0$ )。

广义卡伦数有时定义为 $n\times b^{n}+1$ 而且 $n+2>b$ 。胡道尔数有时称为第二种卡伦数。

历史和卡伦质数

1905年，詹姆士·卡伦首先研究它。

1958年Raphael M. Robinson核实 $C_{141}$ 是质数，且证明了若 $n\leq 1000$ ，除了 $C_{1}$ 和 $C_{141}$ 之外， $C_{n}$ 均为合成数。

1984年Wilfrid Cellar又类似地核实了 $C_{4713},C_{5795},C_{6611},C_{18496}$ 和以上提到的卡伦质数之外， $n\leq 30000$ 的 $C_{n}$ 均为合成数。

截止2009年4月，已知的卡伦质数有141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 (OEIS:A005849)，n=1354000以下的卡伦质数已被找到。可是，“存在无限个卡伦质数”这问题仍属猜想。

是否存在质数 $p$ 使得 $C_{p}$ 为质数同样为疑问。

参考

Cullen, James (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.