顺序统计量

任给样本${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ ，将其从小到大排成一列，记为：

随机变量${\displaystyle X_{(k)}}$ 的累积分布函数${\displaystyle F_{k}(x)}$ 由下式给出^[1]

连续均匀样本

从单位区间上的连续型均匀分布取得的样本，其各顺序统计量的边缘分布属于Β分布族。此外，任意几个顺序统计量的联合分布也有简单的表示。本节将作介绍。藉赖累积分布函数（cdf），该些结果亦可推广到任意连续分布。

本节中，${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ 表示以${\displaystyle F_{X}}$ 为cdf的一组随机样本。记${\displaystyle U_{i}=F_{X}(X_{i})}$ ，则${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ 是从标准连续均匀分布抽取的对应样本。由${\displaystyle F_{X}}$ 的单调性，后者的顺序统计量为${\displaystyle U_{(i)}=F_{X}(X_{(i)})}$ 。

顺序统计量${\displaystyle U_{(k)}}$ 的概率密度函数（pdf）等于^[2]

${\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}.}$ 

换言之，均匀分布的第${\displaystyle k}$ 顺序统计量遵循Β分布^[2][3]

${\displaystyle U_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n+1\mathbf {-} k).}$ 

证明如下：欲使${\displaystyle U_{(k)}}$ 介乎${\displaystyle u}$ 与${\displaystyle u+\mathrm {d} u}$ 之间，样本须恰有${\displaystyle k-1}$ 个元素小于${\displaystyle u}$ ，并至少有一个介乎${\displaystyle u}$ 与${\displaystyle u+\mathrm {d} u}$ 之间。该区间包含多于一个元素的概率已是${\displaystyle O(\mathrm {d} u^{2})}$ （使用了大O符号），故衹需计算${\displaystyle (0,u)}$ 、${\displaystyle (u,u+du)}$ 、${\displaystyle (u+du,1)}$ 三区间分别恰有${\displaystyle k-1}$ 、${\displaystyle 1}$ 、${\displaystyle n-k}$ 个元素的概率。此即三项分布（英语：multinomial distribution）概率

${\displaystyle {n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}\cdot \mathrm {d} u\cdot (1-u-\mathrm {d} u)^{n-k},}$ 

故上述pdf公式成立。该分布的平均值为${\displaystyle k/(n+1)}$ 。