卡方分布

若k个随机变量${\displaystyle Z_{1}}$ 、……、${\displaystyle Z_{k}}$ 是相互独立，符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}$ 

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

${\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\,}$ 

${\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2}}$ 

可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。

概率密度函数

卡方分布的概率密度函数为：

${\displaystyle f_{k}(x)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma ({\frac {k}{2}})}}x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{\frac {-x}{2}}}$ 

其中${\displaystyle x\geq 0}$ ，当${\displaystyle x\leq 0}$ 时${\displaystyle f_{k}(x)=0}$ 。这里Γ代表Gamma函数。

累积分布函数

卡方分布的累积分布函数为：

${\displaystyle F_{k}(x)={\frac {\gamma {\Bigl (}{\frac {k}{2}},{\frac {x}{2}}{\Bigr )}}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}}$ ，

其中γ(k,z)为不完全Γ函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

${\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))dx={\frac {k}{2}}+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi (k/2)}$ 

其中${\displaystyle \psi (x)}$ 是双伽玛函数。

卡方变量与Gamma变量的关系

当Gamma变量 频率（λ）为1/2时，α的2倍为卡方变量之自由度。 即：

${\displaystyle r.v.Y=\chi ^{2}\left(U\right)=\Gamma \left(\alpha ={\frac {U}{2}},\lambda ={\frac {1}{2}}\right)}$ 

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {E} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda }}={\frac {\frac {U}{2}}{\frac {1}{2}}}=U}$ 

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {Var} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}={\frac {\frac {U}{2}}{\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=2U}$ 

卡方变量之期望值＝自由度 卡方变量之方差＝两倍自由度

可加性

由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n}}$ 分别独立服从自由度为${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots k_{n}}$ 的卡方分布，那么它们的和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ 服从自由度为${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}}$ 的卡方分布。

偏差的平方和

若k个随机变量${\displaystyle Z_{1}}$ 、……、${\displaystyle Z_{k}}$ 是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}(Z_{i}-{\bar {Z}})^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}}$ 

其中均值

${\displaystyle {\bar {Z}}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}Z_{i}}$ 

它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即

${\displaystyle n{\bar {Z}}^{2}\sim \chi _{1}^{2}}$ 

p-value = 1- p_CDF.

χ2越大，p-value越小，则可信度越高。通常用p=0.05作为阈值，即95%的可信度。

常用的χ2与p-value表如下:

• 卡方分配与卡方检验 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 分布计算器（页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）