实数完备性

实数完备性可以用以下任意一个等价定理作为公理。但一般而言，我们会首先承认LUB公理或最小上界定理，再由此出发证明其他等价命题。

最小上界性

最小上界定理，又称为上确界定理（LUB公理）。其内容是，如果实数的非空子集有上界，则它有最小上界。这个公理可以用来证明实数集是完备度量空间。有理数集不满足最小上界公理，因而就不是完备的。一个理想的例子是 ${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}}$ 。${\displaystyle {\sqrt[{}]{2}}}$  当然是这个集合的上界。但是这个集合没有最小上界 — 对于任何上界 ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ ，我们可以找到上界 ${\displaystyle y\in \mathbb {Q} }$  有着 ${\displaystyle y<x\ }$ 。

柯西收敛准则

设 ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$  是柯西序列。设 S 为这样一个集合，其中每个实数只大于序列 ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$  中的有限个成员。${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$ ，设 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{+}}$  使得 ${\displaystyle \forall n,m\geq N}$ ， ${\displaystyle |s_{n}-s_{m}|<\varepsilon }$ 。于是这个序列在区间 ${\displaystyle (s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )}$  里出现无限多次，而且只在它的补集里最多出现有限次。这意味着 ${\displaystyle s_{N}-\varepsilon \in }$  S， 因此 S${\displaystyle \not =\emptyset }$ 。另外 ${\displaystyle s_{N}+\varepsilon }$  是 S 的上界。于是通过 LUB 公理，可以设 b 是 S 的最小上界，而且 ${\displaystyle s_{N}-\varepsilon \leq b\leq s_{N}+\varepsilon }$  。由三角不等式，当 n>N 时成立时 ${\displaystyle d(s_{n},b)\leq d(s_{n},s_{N})+d(s_{N},b)\leq \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon }$ 。所以 ${\displaystyle s_{n}\longrightarrow b}$  并因此 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  是完备的。

区间套原理

定理声称对于任一的有界闭区间套I_n（例如I_n = [a_n, b_n]并满足a_n ≤ b_n），它们的交集I_n非空，且为闭区间${\displaystyle [\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]}$ ；特别地，假若${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0}$ ，则它们的交集J为一个包含且仅包含${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$ 的单点集。

单调有界定理

如果a_k是一个单调的实数序列（例如a_k ≤ a_k+1），则这个序列具有有限极限，当且仅当序列是有界的。证明可以通过利用LUB公理来完成。

聚点定理

波尔查诺-魏尔施特拉斯定理（英语：Bolzano–Weierstrass theorem）说明，${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中的一个子集${\displaystyle E}$ 是序列紧致（每个序列都有收敛子序列）当且仅当${\displaystyle E}$ 是有界闭集。更一般地，这个定理对有限维实向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 亦有效。

• Upper and Lower Bounds (including the lub axiom)，Springer's Encyclopedia of Mathematics（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Apostol, Tom M. "Mathematical analysis." (1964).