分离原理

考虑一个确定性LTI系统：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\end{aligned}}}$ 

其中

${\displaystyle u(t)}$ 为输入信号

${\displaystyle y(t)}$ 为输出信号

${\displaystyle x(t)}$ 为系统内部状态

可以设计以下的估测器

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=(A-LC){\hat {x}}+Bu+Ly\,}$ 

及状态回授

${\displaystyle u(t)=-K{\hat {x}}\,.}$ 

定义误差e:

${\displaystyle e=x-{\hat {x}}\,.}$ 

则

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e\,}$ 

${\displaystyle u(t)=-K(x-e)\,.}$ 

可以将闭回路的动态表示为

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {e}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BK&BK\\0&A-LC\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\e\\\end{bmatrix}}.}$ 

因为这是三角矩阵，其特征值即为A − BK的特征值以及 A − LC的特征值^[1]。因此估测器及回授的稳定性彼此线性无关。

• Brezinski, Claude. Computational Aspects of Linear Control (Numerical Methods and Algorithms). Springer, 2002.