有界输入有界输出稳定性

连续系统的充份及必要条件

针对连续时间的线性非时变（LTI）系统，BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分，也就是存在L¹范数

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t}=\|h\|_{1}<\infty }$ 

离散系统的充份条件

针对离散时间的线性非时变系统，BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分，也就是存在L¹范数

${\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }$ 

充份条件的证明

假设离散时间的线性非时变系统，其脉冲响应${\displaystyle \ h[n]}$ 和输入${\displaystyle \ x[n]}$ 和输出${\displaystyle \ y[n]}$ 之间会有以下的关系：

${\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}$ 

其中${\displaystyle *}$ 为卷积 则依卷积的定义：

${\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}$ 

令${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ 为${\displaystyle \ |x[n]|}$ 的最大值

${\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|}$ 

${\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}}$ （根据三角不等式）

${\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}}$ 

${\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}}$ 

${\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}}$ 

若${\displaystyle h[n]}$ 是绝对可求和，则${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }$ 且

${\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}$ 

因此若${\displaystyle h[n]}$ 是绝对可求和，且${\displaystyle \left|x[n]\right|}$ 有界，则因为${\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty }$ ，${\displaystyle \left|y[n]\right|}$ 也会有界。

连续时间的情形也可以依类似的方式证明。

连续时间信号

对于一个有理的连续时间系统，稳定性的条件是拉普拉斯转换的收敛区域包括复数平面的虚轴。若系统为因果系统，其收敛区域为“最大极点”（实部为最大值的极点）实部垂直线往右的开集，定义收敛区域的极点实部称为收敛横坐标（英语：abscissa of convergence）。因此，若要有BIBO稳定性，系统的所有极点都需在S平面的严格左半平面（不能在虚轴上）。

可以将时域分析下的稳定性条件扩展到频域下：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,\operatorname {d} t}}$ 

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}}$ 

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|dt}}$ 

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|dt}}$ 

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)e^{-st}\right|dt}}$ 

其中${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ ，且${\displaystyle {\mbox{Re}}(s)=\sigma =0}$ .

因此收敛区域必须包括虚轴。

离散时间信号

对于一个有理的离散时间系统，稳定性的条件是Z转换的收敛区域包括单位圆。若系统为因果系统，其收敛区域为极点绝对值中最大值为半径的圆周以外的开集，因此，若要有BIBO稳定性，系统的所有极点都需在Z平面的单位圆内（不能在单位圆上）。

可以用类似的方式推导稳定性准则：

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}}$ 

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|}}$ 

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|}}$ 

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}}$ 

其中${\displaystyle z=re^{j\omega }}$ ，且${\displaystyle r=|z|=1}$ 

因此收敛区域必须包括单位圆。

• 线性时不变系统理论
• 有限脉冲响应（FIR）滤波器
• 无限脉冲响应（IIR）滤波器
• 奈奎斯特图
• 罗斯-霍维茨稳定性准则
• 波德图
• 相位裕度
• 根轨迹法
• 超稳定性