高斯过程

一统计学分布定义为{X_t, t∈T}是一个高斯过程，当且仅当对下标集合T的任意有限子集t₁,...,t_k，

${\displaystyle X_{t_{1},\ldots ,t_{k}}=(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{k}})}$ 

是一个多元正态分布，这等同于说${\displaystyle (X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{k}})}$ 的任一线性组合是一单变量正态分布。更准确地，取样函数X_t 的任一线性泛函均会得出正态分布。可以写成X ~ GP(m,K)，即随机函数X 以高斯过程（GP）方式分布，且其平均数函数为m 及其协方差函数为K。^[3]当输入向量t为二维或多维时，高斯过程亦可能被称为高斯自由场（高斯场（英语：Gaussian random field））。^[4]

有些人^[5] 假设随机变量 X_t 平均为0；其可以在不失一般性的前提下简化运算，且高斯过程的均方属性可完全由协方差函数K得出。^[6]

高斯过程的关键事实是它们可以完全由它们的二阶统计量来定义.^[4]因此，如果高斯过程被假定为具有平均值零, defining 协方差函数完全定义了过程的行为。重要的是，这个函数的非负定性使得它的谱分解使用了 K-L转换.

可以通过协方差函数定义的基本方面是过程的平稳过程, 各向同性, 光滑函数 和 周期函数。^[7][8]

平稳过程指的是过程的任何两点x和x'的分离行为。如果过程是静止的，取决于它们的分离x-x'，而如果非平稳则取决于x和x'的实际位置。例如，一个特例 Ornstein–Uhlenbeck 过程, 一个 布朗运动 过程，是固定的。

如果过程仅依赖于 ${\displaystyle |x-x'|}$ ，x和x'之间的欧几里德距离（不是方向），那么这个过程被认为是各向同性的。同时存在静止和各向同性的过程被认为是 同质与异质;^[9]在实践中，这些属性反映了在给定观察者位置的过程的行为中的差异（或者更确切地说，缺乏这些差异）。

最终高斯过程翻译为功能先验，这些先验的平滑性可以由协方差函数引起。如果我们预期对于“接近”的输入点x和x'，其相应的输出点y和y'也是“接近”，则存在连续性的假设。如果我们希望允许显著的位移，那么我们可以选择一个更粗糙的协方差函数。行为的极端例子是Ornstein-Uhlenbeck协方差函数和前者不可微分和后者无限可微的平方指数。 周期性是指在过程的行为中引发周期性模式。形式上，这是通过将输入x映射到二维向量${\displaystyle u(x)=(\cos(x),\sin(x))}$  来实现的。

常见的协方差函数

一些常见的协方差函数:^[8]

• 常值：${\displaystyle K_{\operatorname {C} }(x,x')=C}$ 
• 线性：${\displaystyle K_{\operatorname {L} }(x,x')=x^{T}x'}$ 
• 高斯噪声: ${\displaystyle K_{\operatorname {GN} }(x,x')=\sigma ^{2}\delta _{x,x'}}$ 
• 平方指数: ${\displaystyle K_{\operatorname {SE} }(x,x')=\exp {\Big (}-{\frac {\|d\|^{2}}{2\ell ^{2}}}{\Big )}}$ 
• Ornstein–Uhlenbeck : ${\displaystyle K_{\operatorname {OU} }(x,x')=\exp \left(-{\frac {|d|}{\ell }}\right)}$ 
• Matérn: ${\displaystyle K_{\operatorname {Matern} }(x,x')={\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}{\Big (}{\frac {{\sqrt {2\nu }}|d|}{\ell }}{\Big )}^{\nu }K_{\nu }{\Big (}{\frac {{\sqrt {2\nu }}|d|}{\ell }}{\Big )}}$ 
• 定期: ${\displaystyle K_{\operatorname {P} }(x,x')=\exp \left(-{\frac {2\sin ^{2}\left({\frac {d}{2}}\right)}{\ell ^{2}}}\right)}$ 
• 有理二次方: ${\displaystyle K_{\operatorname {RQ} }(x,x')=(1+|d|^{2})^{-\alpha },\quad \alpha \geq 0}$ 

• 高斯自由场