极限 (数列)

设一数列${\displaystyle \{x_{n}\},\ x_{n}\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N} ,\ L\in \mathbb {R} }$ ，若对于任意的正实数${\displaystyle \epsilon }$ ，存在自然数${\displaystyle N}$ ，使得对所有${\displaystyle n>N}$ ，有

其中一个判断数列是否收敛的定理，称为单调收敛定理，和实数完备性相关：单调有界数列必收敛，即是说，有上界的单调递增数列，或是有下界的单调递减数列，必然收敛。

定理1（唯一性）

若数列${\displaystyle \left\{{x_{n}}\right\}}$ 的极限存在，则极限是唯一的。^[1]:29

证明

设数列${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 有两个不相等的极限值${\displaystyle a,\ b}$ ,则对任意的${\displaystyle \epsilon >0}$ ,存在${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ，使得 ${\displaystyle m,n>N}$  时，恒有 ${\displaystyle |x_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}},\quad |x_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}}$  ，则接下来考虑 :

因此${\displaystyle a=b}$ ，故极限唯一。^[1]:29

定理2（有界性）

若数列${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 有极限，则${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 有界，即 ${\displaystyle \exists M>0,\forall n\in \mathbb {N} ,|x_{n}|\leq M}$  。

^[1]:29-30

证明

因为 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$ ，所以对于${\displaystyle \varepsilon =1}$ ，${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} }$ ，使得 ${\displaystyle \forall n>N,|x_{n}-L|<\varepsilon =1}$ 

从而有 ${\displaystyle |x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|}$ 

令 ${\displaystyle M=\max(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{N}|,\ 1+|L|)}$ 

于是 ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,|x_{n}|\leq M}$ 

即${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 有界。

注意有界数列不一定有极限，如数列 ${\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots }$  是一个有界数列，但没有极限。

但是当数列有界，存在一个递增或是递减的子数列的话，则可以证明，数列存在极限。

我们也可以根据定理二来作推论，如果一个数列无界，则知道这个数列一定发散。^[1]:30

定理3（保序性）

若${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$ 

且${\displaystyle a>b}$ ，则^:30 ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,x_{n}>y_{n}}$ 

^[1]

证明：

已知

且${\displaystyle a>b}$ 。取

${\displaystyle \exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{2}}$ ，有

设${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$ ，${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$ ，则

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b}$ ；
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b}$ ；
3. 若${\displaystyle b\neq 0,{y_{n}}\neq 0}$ ,则${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}}$ .

• 级数
• 函数极限