以2为底的对数

2的乘方自古以来就被人们所知：例如，它出现在几何原本第九卷命题 32 和命题 36 中。而一个2的乘方的以2为底的对数仅仅是它在2的乘方的序列中的位置。

以2为底的对数最早的应用是在音乐理论中，由莱昂哈德·欧拉提出：两个音乐调的频率比的以2为底的对数就是它们相差的八度的个数。以2为底的对数还可以用来计算一个数在二进制中的长度，或是在信息理论中编码一个信息所需的比特个数。在计算机科学中，它们决定了二叉搜索和相关算法的迭代次数。在组合学、生物信息学、摄影学以及淘汰制赛事的设计中，都常常用到以2为底的对数。

以2为底的对数可以定义为以2为底的指数函数的反函数。以2为底的指数函数是一个在正实数上定义的严格递增函数，因而有唯一的反函数。也可以定义为 ln n/ln 2，其中 ln 是以任意一种标准方法定义的自然对数。在这种定义中，如果使用复对数，那么以2为底的对数的定义就扩展到复数。例如，Microsoft Excel 提供了 IMLOG2 函数计算以2为底的复对数。^[4]

和其他对数一样，以2为底的对数遵循以下等式，可以用来化简结合以2为底的对数与乘法、乘方的式子：

${\displaystyle \log _{2}xy=\log _{2}x+\log _{2}y}$ 

${\displaystyle \log _{2}{\frac {x}{y}}=\log _{2}x-\log _{2}y}$ 

${\displaystyle \log _{2}x^{y}=y\log _{2}x}$ 

在数学中，以2为底的对数通常记为 log₂ n。然而，有些作者用 lg n 表示以2为底的对数，这也是芝加哥格式手册中列出的表示形式。