特定指数的费马大定理的证明

证明${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$ 没有全不为0的整数解。

预备知识

假设x,y,z是满足${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ 的一组互质的整数解，那么存在互质的整数a,b，使得${\displaystyle x^{2}=a^{2}-b^{2},y^{2}=2ab,z=a^{2}+b^{2}}$ 。

证明过程

1

假设(x,y,z)为方程${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$ 一个解并且x,y互质，y为偶数，则${\displaystyle x^{2}=a^{2}-b^{2},y^{2}=2ab,z=a^{2}+b^{2}}$ ，其中${\displaystyle a>b>0}$ ，a、b互质，a、b的奇偶性相反。由${\displaystyle x^{2}=a^{2}-b^{2}}$ 得a必定是奇数，b必定是偶数。

2

另外，亦得${\displaystyle x^{2}+b^{2}=a^{2}}$ ，再从此得${\displaystyle x=c^{2}-d^{2},b=2cd,a=c^{2}+d^{2}}$ ，其中${\displaystyle c>d>0}$ ，c、d互质，c、d的奇偶性相反。

3

最后有${\displaystyle y^{2}=2ab=4cd(c^{2}+d^{2})}$ ，由此得c、d和${\displaystyle c^{2}+d^{2}}$ 为平方数。于是可设${\displaystyle c=e^{2},d=f^{2},c^{2}+d^{2}=g^{2}}$ ,即${\displaystyle e^{4}+f^{4}=g^{2}}$ 。换句话说，(e,f,g)为方程${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$ 的另外一个解。但是，${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}+4c^{2}d^{2}>g^{4}>g>0}$ 。就是说如果我们从一个z值出发，必定可以找到一个更小的数值 g,使它仍然满足方程${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$ 。如此类推，我们可以找到一个比g更小的数值，同时满足上式。但是，这是不可能的！因为z为一有限值，这个数值不能无穷地递降下去！由此可知我们最初的假设不正确。

所以，方程${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$ 没有正整数解。