欧几里得-欧拉定理

一个偶数是完全数（即等于它的所有真因数的和），当且仅当它有形式2^p−1M_p，其中M_p是梅森质数，即形为M_p = 2^p − 1 的质数。^[1]

欧几里得证明当2^p − 1是质数时，2^{p − 1}(2^p − 1)是完全数（Prop. IX.36）。这是他的《几何原本》中数论的最后一条结果。^[2]

过了超过一千年后，约在公元1000年，海什木猜想所有偶完全数都有形式2^{p − 1}(2^p − 1)，但他未能证明。^[3]

直至18世纪，数学家欧拉始证明所有偶完全数都有形式2^{p − 1}(2^p − 1)。^[1][4]因此确定偶完全数和梅森质数之间存在一一对应：每个偶完全数给出一个梅森质数，反之亦然。

欧拉的证明简短^[1]，用到因数总和函数 σ 是积性函数的性质：对任何两个互质正整数a和b，都有σ(ab) = σ(a)σ(b)。要使这个公式成立，一个数的因数总和须包括该数本身，不只是真因数。一个数是完全数，当且仅当该数的因数总和是该数的两倍。

定理中一个方向（欧几里得所证明的）较为容易：如果2^p − 1是质数，那么

σ(2^{p − 1}(2^p − 1))

= σ(2^{p − 1})σ(2^p − 1)

= (2^p − 1)2^p

= 2(2^p−1(2^p − 1))

至于另一个方向，设有偶完全数2^kx，其中x是奇数。它是完全数，故此

2^{k + 1}x = σ(2^kx) = (2^{k + 1} − 1)σ(x).

上式右边的奇因数2^{k + 1} − 1 至少等于3，且必定整除或等于左边唯一的奇因数x，因此y = x/(2^{k + 1} − 1) 是x的真因数。将上式两边除以公因数2^{k + 1} − 1，并考虑x已知有因数x和y，得出

2^{k + 1}y = σ(x) = x + y + 其他各因数 = 2^{k + 1}y + 其他各因数.

要使等式成立，必需无其他因数，因此y必定等于1，x必定是形为2^{k + 1} − 1的质数。定理得证。