无穷递降法

• 假设方程有解，并设X为最小的解。
• 从X推出一个更小的解Y。
• 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

a²+b²=3(s²+t²)无非平方解

证明下列方程无正整数解:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=3\cdot (s^{2}+t^{2}),\,}$ 

证明:

假设该方程有正整数解。

设${\displaystyle a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}}$ 为最小的解。即

${\displaystyle a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}$ 

显然，${\displaystyle a_{1}}$ 和${\displaystyle b_{1}}$ 都必须能被3整除。设

${\displaystyle 3a_{2}=a_{1}\,}$ 及${\displaystyle 3b_{2}=b_{1}.\,}$ 

我们得到

${\displaystyle (3a_{2})^{2}+(3b_{2})^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}$ 

${\displaystyle 3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=s_{1}^{2}+t_{1}^{2}.\,}$ 

这是更小的解，与${\displaystyle a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}}$ 的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 的无理性

假设${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是有理数，即${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$ 有正整数解。
令${\displaystyle (p,q)}$ 是此方程的最小解
易知${\displaystyle p}$ 是偶数，从得${\displaystyle q}$ 是偶数
⇒${\displaystyle (p/2,q/2)<(p,q)}$ 
和${\displaystyle (p,q)}$ 是此方程的最小解矛盾，故无正整数解
⇒从得${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是无理数

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